Endomorphismes des espaces euclidiens

[invite11607b38]

Salut la compagnie,

Je viens vers vous ce matin car je ne connais pas (et n'arrive pas à trouver) de méthode pour démarrer la résolution de l'énoncé qui suit :

Déterminer les applications u appartenant à O(E) verifiant (u - idE)² = 0.

Je sèche complètement. Ainsi si vous avez des idées, des pistes à explorer, des moyens de démarrer dans une direction ou une autre, n'hésitez pas à m'en faire part !

Merci par avance pour votre aide,

NeO'
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[invite11607b38]

Alors j'ai fait un truc mais ça me parait trop facile :

(1) : J'ai supposé u solution, et j'en ai déduit que u=idE.

(2) : Réciproquement, j'ai pris u=idE et j'ai montré que ça fonctionnait.

Du coup ce ne sont pas "des applications qui vérifient" mais "l'application identité qui vérifie" la condition.

Là où je pense que c'est fumeux, c'est dans la démo (1) : vous feriez ça comment ?

[Seirios]

Bonjour,

Comment déduis-tu que u=Id ?

Sinon, tu peux regarder les valeurs propres possibles de u.

[invite11607b38]

Puisque u appartient à O de E je me suis dit que j'avais le droit de composer l'égalité par (u-idE)^-1 et du coup ça tombe tout seul...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Rien ne tombe tout seul : tu supposes que (u-idE)^-1 existe pour conclure que u-idE est nul, donc que (u-idE)^-1 n'existe pas...
Il vaudrait mieux suivre l'indication de Seirios.

[invite11607b38]

Merci pour vos réponses.

Qu'on soit bien d'accord, je n'ai pas dit que "tout tombe tout seul" (hey, sinon je ne serais pas ici), j'ai dit "si je compose par (u-idE)^-1 alors ça tombe tout seul".

Or vous avez raison, ma supposition de départ est grotesque donc l'implication n'a pas lieu : ça ne tombe pas tout seul.

En regardant les valeurs propres, comme vous me le faite à juste titre remarquer : U appartient à 0 de E alors U est semblable à une matrice V diagonale de valeurs propres.

Ainsi l'égalité appliquée aux termes diagonaux permet de trouver l'égalité suivante : pour tout i de 1 à n, la différence entre la valeur propre de rang i et un est nulle

Par suite toutes les valeurs propres valent 1.

Par contre c'est peut-être tout bête mais je ne vois pas l'implication (si elle existe) entre le fait que les valeurs propres valent toutes 1 et le fait que u vaille l'identité.

Merci pour votre aide.