Espaces euclidiens

[invite3424b43e]

Bonsoir

Je me permet de reposter un message car je bloque aussi sur cet exercice! Voici l'énoncé :

f endomorphisme de E tel que pour tout x de E, <f(x)|x>=0.
- Dans le cas d'un plan donner un exemple d'un tel endomorphisme.
Je ne vois même pas pour ça, j'ai pensé à une projection orthogonale mais bon... Sinon la fonction nulle évidemment mais je ne pense pas que ce soit ce qui est attendu!
Ou alors une application nilpotente?
- Montrer que la condition vérifiée par f est équivalente à
Pour tout (x,y) de E,
- Montrer que E est la somme directe orthogonale de Kerf et Imf

Merci à vous
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[invite57a1e779]

Dans le cas d'un plan donner un exemple d'un tel endomorphisme.
Je ne vois même pas pour ça, j'ai pensé à une projection orthogonale

Essaie une rotation.

Montrer que la condition vérifiée par f est équivalente à
Pour tout (x,y) de E,

Développe <f(x+y)|x+y>.

Montrer que E est la somme directe orthogonale de Kerf et Imf

Utilise le résultat précédent.

[invite3424b43e]

D'accord oui, ça correspondait plus ou moins (moins que plus ) à ce que j'avais fait, sauf la somme directe orthogonale, je n'y arrive pas même en utilisant ce qui a été fait avant..

(désolée je suis pas une flèche en maths...)

[invite57a1e779]

Si x appartient à Ker(f) et x'=f(y) appartient à Im(f), cette relation permet de prouver que x et x' sont orthogonaux.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3424b43e]

J'ai en fait démontré que Kerf=(Imf)orthogonal !

J'ai une dernière question

En supposant dimE=3 je dois montrer qu'il existe un unique vecteur u de E tel que pour tout x de E f(x)=u^x (^ produit vectoriel..)

Je ne vois pas trop comment faire...

[invite57a1e779]

Tu considères une base orthonormée constituée de vecteurs de Ker(f) et Im(f) (c'est possible puisque ce sont des sous-espaces supplémentaires orthogonaux).
Tu détermines les images de ces vecteurs de base.
Tu en déduis l'expression analytique de f.
Tu reconnais la formule du produit vectoriel.

[invite3424b43e]

Je ne dois pas avoir un argument de dimension sur Ker f et Im f pour ça ?

[invite57a1e779]

Je ne dois pas avoir un argument de dimension sur Ker f et Im f pour ça ?

Essaie les diverses possibilités, et vois celles qui sont réalisables.

[invite3424b43e]

Je dois déterminer le vecteur u ?

Parce que si je prend par exemple dim Ker f = 1 et rg f = 2 alors soit u1 une base de Ker f et u2,u3 une base de Im f j'ai alors f(u1)=0 et soit e2,e3 tels que f(u2)=e2 et f(u3)=e3.

Donc pour tout x de E, j'ai f(x)=x2e2+x3e3? Non ?

[invite57a1e779]

Tu sais que f(u2) appartient à Im(f), et que <f(u2)|u2>=0 : cela limite les possibilités pour f(u2).
De même pour f(u3).

[invite3424b43e]

D'accord, je dois avoir <f(u2)/u2>=0
or u2 et u3 non nuls
donc f(u2) orthogonal à u2
donc f(u2) est dans Ker f
donc f(u2) est dans Im f et Ker f
donc f(u2)=0

J'arrive à f=0 si je ne me trompe pas..

[invite57a1e779]

f(u2) orthogonal à u2
donc f(u2) est dans Ker f

Pourquoi aurait-on f[f(u2)]=0 ?

f(u2) appartient à Im(f)=Vect(u2,u3), et f(u2) est orthogonal à u2 : que peux-tu en déduire ?

[invite3424b43e]

Je disais ça parce que f(u2) orthogonal à u2, u2 appartient à Imf dans f(u2) appartient à l'orthogonal de Imf ie à Kerf..


Je ne vois pas :/

[invite57a1e779]

f(u2) appartient à l'orthogonal de Imf

f(u2) est orthogonal à u2, pas à tout vecteur de Im(f) !
Im(f) est de dimension 2, une base orthonormée en est (u2,u3) : quels sont les vecteurs de Im(f) orthogonaux à u2 ?

[invite3424b43e]

Tous les vecteurs colinéaires à u3 sont orthogonaux à u2 !

[invite57a1e779]

Oui, ce qui donne une expression sympathique pour f(u2), et un truc analogue pour f(u3).

Reste à voir que <f(u2)|u3>=-<u2|f(u3)> pour préciser f(u2) et f(u3).

[invite3424b43e]

D'accord ça me donne dont f(u2)=au3 et f(u3)=bu2.

Donc <f(u2)|u3>=-<u2|f(u3)> donne f(u2)=-bu3 et f(u3)=bu2 ?

[invite57a1e779]

Oui, et à partir de , tu peux calculer pour tout vecteur , et déterminer le fameux vecteur tel que .

Mais tu n'as traité qu'une possibilité pour les dimensions de Ker(f) et de Im(f).

[invite3424b43e]

Oui le cas où dim(Kerf)=2 et rg(f)=2 doit se traiter sur le même modèle, j'imagine!

Je trouve u(-b,0,0) donc

[invite57a1e779]

Oui le cas où dim(Kerf)=2 et rg(f)=2

Ce n'est pas vraiment possible dans un espace de dimension 3.

[invite3424b43e]

rg(f)=1 pardon!

[invite57a1e779]

Que se passe-t-il si rg(f)=1 ?

[invite3424b43e]

si u1 et u2 base de Kerf et u3 base de Imf il n'existe pas de vecteur de Imf orthogonal à u3 donc c'est un cas improbable!

[invite57a1e779]

donc c'est un cas improbable!

"impossible" est le qualificatif qui s'impose.

[invite3424b43e]

Oui Merci beaucoup!