Déterminer 2 réels pour que S soit sommet de la courbe !!

[invite061e3580]

Bonjour à tous !
Je n'arrive pas à faire cette exercice ! J'ai vraiment besoin de vous :'(

Dans le plan rapporté à un repère orthonormal, on considère la courbe d'équation :

y= x(ax+b) / 2(x-1)²

Avec a appartient R et b appartient R

Déterminer a et b pour que S(2;2) soit au sommet de la courbe.

Voilà en espérant avoir des réponses !
Je pense qu'il y a un problème avec un extrema ?

Merci !
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[Elie520]

Puisque S(2;2) est le sommet de la courbe, commence par calculer en fonction de a et de b, puis déduis-en une relation entre a et b.

Ensuite, puisque S(2;2) est le sommet, alors f atteint son maximum en . Donc .

A toi de jouer

Elie520

[invite061e3580]

Merci à toi de répondre !
J'ai calculé f(2) , je trouve 2a+b ou (4a+2b) / 2
Mais comment je détermine a et b !

[Elie520]

En effet . Mais tu sais aussi que puisque S(2;2) est sur la courbe. Donc . De ça, tu en déduis une relation entre a et b. Mais ceci ne répond pas tout de suite à ton problème puisque tu as une équation à deux inconnues!
Il va donc falloir que tu te serve de l'autre donnée de l'énoncé : "S(2;2) est de la courbe". Donc a pour Maximum . D'où .
Avec cette dernière condition, tu va aboutir à une seconde équation faisant intervenir a et b. Tu auras donc un système de deux équations à deux inconnues (a et b) que tu n'auras plus qu'à résoudre et le tour est joué !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite061e3580]

Ok , pour la dérivé j'ai un peu de mal

f'(x) est égal à : u'v - uv' / v²
mais v' = à 0 ou 1a * 0(ax+b) donc 1a

Sinon j'ai f'(x) = (2ax² - 4ax + 2a) / ( 2x² -4x +2 )²

ou (2ax² -4ax +2a -1a²x² - 1abx) / ( 2x² - 4x +2 )²

Je dois me tromper , tu trouve quoi toi ?

[Scorp]

Puisque S(2;2) est le sommet de la courbe, commence par calculer en fonction de a et de b, puis déduis-en une relation entre a et b.

Ensuite, puisque S(2;2) est le sommet, alors f atteint son maximum en . Donc .

A toi de jouer

Elie520

Il faudrait aussi vérifier que f''(2)<0 pour être sûr qu'on est bien sur un sommet (et non pas un creux ou un point scelle).

Pour dériver, ta fonction f(x)=u(x)/v(x) avec u(x)=x(ax+b) et v(x)=2(x-1)² tu dois bien utiliser la formule (u'v-v'u)/v².

avec u'(x)=2ax+b et v'(x)=4(x-1)
Je te laisse continuer le calcul ...

[Elie520]

Scorp : Il faudrait aussi vérifier que pour être sûr qu'on est bien sur un sommet (et non pas un creux ou un point scelle)."

Je pense que si, alors, et non .
De plus, je pense plutôt qu'il faut faire ce que j'ai décrit plus haut. Ainsi, on aura trouvé et pour que soit un extremum. Donc, il n'y aura plus qu'à étudier la fonction avec les valeurs remplacées de et dans pour vérifier qu'en effet, ce n'est pas un "point de scelle" comme l'a très justement dit Scorp.

[invite061e3580]

Merci ! Quel erreur ! Je suis étourdit U_u

Je trouve donc f'(x) = ( -4ax² +4ax -2bx² +2b ) / ( 2x² -4x +2 )²

[Elie520]

Merci ! Quel erreur ! Je suis étourdit U_u

Je trouve donc f'(x) = ( -4ax² +4ax -2bx² +2b ) / ( 2x² -4x +2 )²

Moi j'ai trouvé donc f'(x) = ( -4ax² +2ax -2bx² +2b ) / ( 2x² -4x +2 )²

Mais je me suis peut-être trompé.

Ensuite, quand tu es sûr de ta dérivée, n'oublie pas que (pour résoudre ca, dans un premier temps, débarasse-toi de ce dénominateur monstrueux, et enfin, remplace a ou b par ce que tu as trouvé plus haut (2a+b=2) )

[invite061e3580]

Non après vérification je trouve bien :
( -4ax² +4ax -2bx² +2b ) / ( 2x² -4x +2 )²

Ensuite j'ai calculé f'(2) et je trouve ( -8a -6b ) / 4
ou si je ne me trompe pas : -2a -(3/2)b

et après je n'est pas compris " remplace " ?

[Elie520]

Bon attends, je ne suis pas d'accord avec toi pour la dérivée, alors je vais la faire là pour être sûr...

.

Où me suis-je trompé ???

[Elie520]

Bon sinon, au début, tu avais

Donc tu n'as plus qu'à remplacer ou (au choix) dans l'équation pour n'avoir plus qu'une inconnue que tu déterminera. Tu en déduiras la valeur de l'autre inconnue. Et enfin, tu vérifieras qu'avec tes valeurs, est un maximum et non un minimum.

Je crois que tu peux finir seul maintenant. Bonne chance.

[invite061e3580]

Tu as oublié de multiplier le 1² de 2(x-1)²
ce qui te fait f'(x) = (2ax+b)(2x²-4x+2) ... etc

[invite061e3580]

Merci j'ai donc : par substitution :
b= -2a+2
et -8a -6(-2a+2) =0
-8a +12a -12 =0
4a=12 donc a=12/4 =3

et donc b = -2*3+2 = -4

donc a=3 et b=-4
mais je conclu comment?

[Elie520]

Ca roule, merci. Donc il faut résoudre .
Bonne chance.
Cordialement.

[Elie520]

Eh bien, il faut faire un tableau de variation de , et tu auras fini

[Scorp]

Non, il y a toujours une erreur dans votre calcul de dérivée :

Vous avez

Donc on oublie le v² car il sera différent de 0 et il nous alourdit le calcul pour rien

Donc on simplifie par 2(x-1)

d'où Les termes en x² se simplifient, et il reste donc (sauf erreur)

Or la relation f(2)=2 ,nous donne justement que 2a+b=2, d'où
qui doit être prise en x=2 car on veut que S(2, 2) soit au sommet
On obtient donc b=... et donc a=...

[hhh86]

Pour la dérivée je trouve f'(x)=(-bx-2ax-b)/2(x-1)³

Ce n'est pas en désaccord avec Scorp

[hhh86]

c'est équivalent à la dérivée de Weavel donc où trouves-tu l'erreur Scorp ?

[Scorp]

c'est équivalent à la dérivée de Weavel donc où trouves-tu l'erreur Scorp ?

Je parlais des messages d'Elie520, ceux juste avant ma réponse. Il donne une équation de degré 2 à résoudre, ce qui est faux (ou du moins inutile).

De plus, il dit que :
"Je pense que si f'(2)=0, alors f''(2)=0, et non f''(2)<0." ce qui est bien sûr faux. Il sera nécessaire de vérifier que les valeurs trouvées pour a et b donnent bien une dérivée seconde en x=2 strictement négative (sinon, on pourrait être sur un minimum ou point scelle, et non pas sur un maximum comme on le voulait)

Les autres réponses m'ont l'air correctes sinon.

[Elie520]

Scorp.... Avec toutes les simplifications que tu fais (et que tout le monde a fait au brouillon ), je n'appelle plus ce que tu as écrit la dérivée. Cependant, ton raisonnement reste juste, et si tu regardes bien, on aboutit exactement au même résultat : et
Donc pas de souci me semble-t-il.

[Elie520]

De plus, il dit que :
"Je pense que si f'(2)=0, alors f''(2)=0, et non f''(2)<0." ce qui est bien sûr faux.

Exactement, désolé, j'étais ailleurs...

Il sera nécessaire de vérifier que les valeurs trouvées pour a et b donnent bien une dérivée seconde en x=2 strictement négative (sinon, on pourrait être sur un minimum ou point scelle, et non pas sur un maximum comme on le voulait)

Ce que je voulais dire, était que l'on pouvait le vérifier en passant par un tableau de variation, plutôt que par la dérivée seconde, mais au final, les deux marchent je crois.

[hhh86]

Le tableau de variation est plus rapide.