Petit problème de simplification théorème des résidus

[invitecc7428b7]

bonsoir s'il vous plaît j'ai un petit problème, j'étais entrain de résoudre un exercice concernant l'utilisation du théorème des résidus pour le calcul d'une intégrale à l'aide d'un contour, la fonction est : f(z) = e^iz/(z²-z+1)
j'ai détérminé les pôles des deux solutions racines que j'ai trouvé, la première solution s'annule car elle est hors le contour, mon problème c'est qu'en appliquant le théorème des résidus je trouve : 2πi [ (ₑ^i(1/2+√3/2) ) / i√3 ] = ∫ f(z) dz

je vous demande de m'aider à simplifier cette expression car je n'arrive pas vraiment à le faire c'est très compliqué, ça fait déjà 2 heures que j'essaie de la simplifier mais c'était en vain. car en fin de compte je devrai un avoir une expression trop petite genre " 2i/√3 " ou " pi/e " parce que j'en aurai besoin après pour le calcul de l'intégrale qui me demande dans l'exercice, merci beaucoup .
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[invite7c2548ec]

Bonsoir à tous poser pour trouver les pôles et à mon avis , refaire le calcul de et bien entendu si appartienne au demi plan superrieur .

Cordialement

Remarque:Les bornes de cette intégrale ne sont pas cité dans votre énoncé ce qui nous complique un peut notre aide .

[gg0]

Bonjour.

Il n'y a pas de difficulté à simplifier 2πi [ (e^i(1/2+√3/2) ) / i√3 ] par i puis l'écrire sous forme exponentielle

ou toute autre forme qui te plaît avec les règles habituelles.

Mais est-ce vraiment ça que tu as trouvé ?

Cordialement.

[invite7c2548ec]

Bonjour à tous : gg0 à raison donc le problème ne réside pas dans la simplification proprement dite , revoir le calcule des résidus au pôles indiquer .

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecc7428b7]

en résolvant z²-z+1 pour déterminer les pôles, j'ai trouvé comme solutions : z1 = (1-i√3)/2 et z2 = (1+i√3)/2 ensuite j'ai éliminé la première solution z1 car le contour considéré est le demi cercle supérieur (+) .
et puisque les pôles sont simples : on va appliquer A(Z)/B'(Z) = Res(f,Z), avec f(z) = e^iz/(z²-z+1)
ceci va nous donner : Res(f,z1) = e^iz1 / (2z1-1) et Res(f,z2) = e^iz2 / (2z2-1), là je ne sais pas est ce que je substitue (1+i√3)/2 sous forme d'expo qui est e^ipi/3 ou je garde ça sans substitution,
Après je vais devoir appliquer le théorème de résidus, comme z1 s'annule car on s'intéresse au demi cercle supérieur, j'aurai donc : 2pi.i( e^iz2 / (2z2-1) ) = ∫ f(z) dz
c'est là que ça me bloque et je ne sais pas comment simplifier l'expression, merci pour vos réponses déjà

[invite7c2548ec]

Bonsoir à tous : oui c'est juste le calcul de appartiens aux demi plans (+) reste maintenant d'appliquer la bonne formule pour le calcule de puisque est un pole simple, on applique cette formule générale et refuser car il n’appartiens pas aux demi plant sup:

ou représente et ordre de la singularité c-a-d dans notre cas alors cette formule ce réduit en : reste maintenant de remplacer par ça valeur :



donc vous pouvez continuez le calcule en remplaçant par dans la limite Bon calcule (encore on est pas aux bout de la réponse !);

J aimerai bien connaitre les bornes de cette intégrale ?

Cordialement

[invitecc7428b7]

l'intégrale d'après le théorème des résidus n'a pas de bornes, mais après avoir simplifié l'expression de Res(f,z2) on aura :
∫f(z) dz = ∫ C+ f(z) dz + ∫[a,b] f(z) dz ( bornée de -R vers +R )
C+ ( est le contour supérieur (+) ) et a = [-R,0] et b=[0,R]
on suppose que ∫ C+ f(z) dz = I(R) = 0

[invite7c2548ec]

Bonsoir à tous :Bon oublier le problème des bornes on va y venir plus tard n 'appartiens pas aux demi plans (+) , alors pourquoi vous calculez le résidus liés à ce pole (voir en rouge) !!

en résolvant z²-z+1 pour déterminer les pôles, j'ai trouvé comme solutions : z1 = (1-i√3)/2 et z2 = (1+i√3)/2 ensuite j'ai éliminé la première solution z1 car le contour considéré est le demi cercle supérieur (+) .
et puisque les pôles sont simples : on va appliquer A(Z)/B'(Z) = Res(f,Z), avec f(z) = e^iz/(z²-z+1)
ceci va nous donner : Res(f,z1) = e^iz1 / (2z1-1) et Res(f,z2) = e^iz2 / (2z2-1), là je ne sais pas est ce que je substitue (1+i√3)/2 sous forme d'expo qui est e^ipi/3 ou je garde ça sans substitution,

Donc essayez de refaire le calcule de voir message #6.


Cordialement

[invite7c2548ec]

Bonsoir à tous :

Pour ce qui du calcul maintenant si je remplace dans la formule :
alors .

En appliquant maintenant le théorème des résidus :

ou représenté le bord orienté d'un compact .

donc

Ce résultat de cette intégrale est à valeur dans , On peut aussi séparer ce résultat en deux terme est là intervient les bornes de l'intégrale est non le théorème des résidus :

Si

Maintenant si en fait tendre pour cela

il nous reste

(1)

Sachant que et de l’équation (1) on peut égaliser la partie réel avec le réel et la parie imaginaire avec la partie imaginaire .

Cordialement

[invite7c2548ec]

Bonsoir à tous :

bonsoir s'il vous plaît j'ai un petit problème, j'étais entrain de résoudre un exercice concernant l'utilisation du théorème des résidus pour le calcul d'une intégrale à l'aide d'un contour, la fonction est : f(z) = e^iz/(z²-z+1)
j'ai détérminé les pôles des deux solutions racines que j'ai trouvé, la première solution s'annule car elle est hors le contour, mon problème c'est qu'en appliquant le théorème des résidus je trouve : 2πi [ (ₑ^i(1/2+√3/2) ) / i√3 ] = ∫ f(z) dz

je vous demande de m'aider à simplifier cette expression car je n'arrive pas vraiment à le faire c'est très compliqué, ça fait déjà 2 heures que j'essaie de la simplifier mais c'était en vain. car en fin de compte je devrai un avoir une expression trop petite genre " 2i/√3 " ou " pi/e " parce que j'en aurai besoin après pour le calcul de l'intégrale qui me demande dans l'exercice, merci beaucoup .

En principe avant le calcule de l'intégrale utilisant la méthode des résidus faut s'assurer d'abord de la convergence .

Cordialement