Bonjour,
J'ai récemment relu le livre de Jean-Pierre Luminet sur les trous noirs et, à un moment il y a une note stipulant qu'il est impossible de plonger un espace-temps de dimension 4 dans un espace euclidien de dimension 5.
Est-ce que quelqu'un a des détails là-dessus ?
Salut,
Ca dépend du genre de détail souhaité. A la limite je peux te renvoyer à un non cours de relativité générale (Gravitation, Misner, Thorn et Wheeler) mais c'est peut-être too muchEnvoyé par djobidjoba
(enfin, bon, ça reste intéressant à lire, bien sûr, la physique c'est passionant).
Sinon, je dirais que la difficulté est liée au fait que l'espace-temps est localement pseudo-euclidien (espace-temps de Minkowski).
On peut certainement plonger un tel espace dans un espace pseudo-euclidien plus grand (je ne sais pas si 5 dimensions est suffisant). Mais dans un espace euclidien c'est carrément problématique.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_de_Minkowski
Déjà, les représentations de l'espace-temps plat de Minkowski sur une feuille de papier sont trompeuses : comme dans les exemples de Wikipedia, les longueurs mesurées sur la feuille ne correspondent pas aux longueurs correspondant à la géométrie de Minkowski.
Alors, forcément, pour un espace-temps courbe.....
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Merci pour ta réponse !
Donc si je comprends bien, l'impossibilité vient de la structure pseudo-riemannienne : Si on l'omet, il est à priori possible de plonger une variété de dimension 4 dans un espace vectoriel de dimension assez grande (théorème de Withney & co) : J'imagine que ce qui est impossible, c'est de trouver un plongement "compatible" (dans un sens à définir) avec les métriques de départ et d'arrivée
Oui, c'est ça.
S'il n'y avait pas la courbure, ça irait. On peut trouver des représentations potables. Mais avec la courbure, les représentations ne sont pas du tout des plongements (par exemple la représentation de Kruskal-Szekeres).
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Salut
Le théorème de Whitney stipule que toute variété (quelconque) de dimension n peut être plongée (insérée) dans R^2n (espace euclidien ou pseudo euclidien de dimension 2n).
Par exemple la bouteille de Klein qui est une variété à deux dimensions ne peut pas être insérée dans un espace 3D (mais peut l'être dans un espace 4D conformément au théorème de Whitney)
Mais ce peut être moins en fonction de la symétrie des variétés .
Pour les variétés de la RG à symétries maximum (De Sitter, anti de Sitter, Minkowski), par exemple pour l'espace temps de De Sitter (n =4),il peut être inséré dans un espace de Minkowski de dimension n= 5.
C'est un hyperboloïd d'équation:
-u²+x²+y²+z²+w² =a².
Pour l'espace temps associé au TN de Schwarzschild (n =4), moins symétrique, il peut être inséré dans un espace à 6 dimensions mais pas à 5 (ceci a été démontré par Kasner E. (1921b) Am.J. Math 43,130.
Donc, pas très simple tout cela!
Cordialement
Pas plongée, mais immergée.
La question d'une borne pour un plongement est un problème ouvert.
La bouteille de Klein peut être immergée en 3D, et plongée en 4D, mais le th. de Whitney n'y est pour rien.Par exemple la bouteille de Klein qui est une variété à deux dimensions ne peut pas être insérée dans un espace 3D (mais peut l'être dans un espace 4D conformément au théorème de Whitney)
J'ai écrit une connerie, confondu avec "plongé isométriquement".
Un théorème de Whitney couvre aussi les plongements, mais pas isométriques. Et semble limité aux Cinfini pour les plongements (mais pas pour les immersions).
La bouteille de Klein (une variété Cinfini) peut être immergée en 3D et plongée isométriquement en 4D. Le tore peut être plongé en 3D mais pas isométriquement, et peut être plongé isométriquement en 4D.
C'est le plongement isométrique qui est un problème ouvert.
Dernière modification par Amanuensis ; 11/12/2010 à 09h38.
Une des raisons de ma confusion est que je ne vois pas trop l'intérêt en physique d'un plongement non isométrique : si on ne peut pas utiliser les propriétés métriques de l'espace plat dans lequel on plonge, il me semble qu'on ne change pas grand chose par rapport à se contenter de l'étude intrinsèque de la variété modélisant l'espace-temps.
Salut
J'essayais de répondre de façon pas trop formelle, mais c'est vrai que si on veut être rigoureux il y a un vocabulaire très précis mais cela devient rapidement très technique.
L'exemple de la bouteille de Klein est classique, car quand on la représente en 3D, la bouteille se "recoupe" alors qu'en fait ce n'est pas le cas, mais il faudrait passer à une représentation 4D pour le montrer et cela c'est une autre histoire!
Cordialement
Salut,
Non, mais merci car j'ai appris des trucs.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
