Indépendance stochastique

[kapial]

Bonjour,

Voici les données de mon problème :
Soit un espace de probabilité avec la densité de Lebesgue : (loi normale centrée réduite).

Soient les v.a. sur définis par

Calculer les tribus engendrées de X , Y et Z .
--(Aucune idée pour ça)

Montrer que Y et Z sont indépendants.
--Pour ça je calculerai donc la densité de YZ mais je sais pas comment faire..

Indice : X suit une loi normale centrée réduite et Y une loi binomiale de paramètre 0.5
(Comment expliquer ces informations ? )

Merci pour votre aide, je suis assez perdu là.
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[minushabens]

C'est un peu normal que tu sois perdu parce qu'en général les choses ne sont pas présentées comme ça. En général on a un espace mesuré (R,B,l) où l est la mesure de Lebesgue, et on aurait X~N(0,1), Y=1(X>0) et Z=|X|. Si tu réfléchis tu vois que l'indépendance découle du fait que la loi normale est symétrique. Il n'y a pas besoin de faire de calcul.

[kapial]

Merci pour ta réponse !
Mais comment ça se fait que Y suive une loi de bernoulli de paramètre 1/2 ?
Et si je veux montrer que X et Y ne sont pas indépendants ou que X et Z ne le sont pas, c'est avec du calcul cette fois? (la loi de Z est aussi une loi normale d'ailleurs?)

[minushabens]

X et Y ne sont certainement pas indépendantes, puisque Y est une fonction de X. Idem pour X et Z. Z est toujours positive donc ne peut pas suivre une loi normale.

[A voir en vidéo sur Futura]

[kapial]

C'est tout à fait logique oui. Et comment puis-je montrer ça par calcul? On me demande en effet d'utiliser les fonctions de répartition. Mais je ne vois pas comment calculer celle de X.Y ou de X.Z