Nécessité de prendre un ouvert ?

[invite93ba509b]

Bonjour,


Je suis en Licence 2 maths/physique.

Je m'avance sur le programme de maths de l'année prochaine, et en géométrie différentielle je vois dans la grande majorité des théorèmes que l'on défini toujours des applications allant d'un ouvert dans un R-ev quelconque, ou allant d'ouvert à ouvert. Cette année la seule fois où en cours nous avons eu besoin de mentionner l'emploi d'un ouvert c'était pour le Théorème de l'inversion globale.
Je crois avoir compris que, pour simplifier, la spécificité d'un ouvert est que l'on peut se balader autour de n'importe quel point de l'ouvert tout en restant à l'intérieur de cet espace.

Toujours est-il que je me demande ce qui justifie la nécessité de l'emploi de ces ouverts, qu'apportent-ils aux théorèmes, pourquoi ne pas prendre des ev quelconques ?

Merci,

L_Lawliet
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[gg0]

Bah !

On prend bien des Ev quelconques, tu le dis : "allant d'un ouvert dans un R-ev quelconque". Et tu as bien justifié l'usage d'ouverts pour le départ.
Tous les théorèmes dont tu parles sont des théorèmes locaux, et pour être localement à un point, on se palce au voisinage de ce point, ou sur un ouvert (un ouvert est toujours un voisinage, et un voisinage de x contient toujours un ouvert contenant x)
Note que dans beaucoup de cas, si on ne se place pas sur un ouvert, la propriété disparaît. par exemple la fonction x-->x définie sur [-1,1] a un maximum et un minimum alors que sa dérivée ne s'annule pas.

Cordialement

[invite93ba509b]

Ah merci je comprend mieux,

Je n'avais pas fait le lien avec cette notion de localité que l'on a déjà abordé mais sans vraiment en expliquer l’intérêt en cours.
Je pense qu'intuitivement je peux la saisir, mais concrètement que signifie qu'un théorème soit local ?

Cela signifie-t-il que le théorème n'est pas vrai sur tout l'ensemble simultanément mais seulement sur une " petite " portion de celui-ci soit au voisinage d'un point ( c'est-à-dire sur un ouvert justement ) ? Comment reconnait-on qu'un théorème est local ?

J'ai toujours eu l'impression que cette notion de localité laissait trop de liberté pour être pertinente, car du moment que le voisinage d'un point peut-être prit aussi large qu'on le souhaite, quel est l’intérêt, que reste-t-il de local ?

[invite9dc7b526]

J'ai toujours eu l'impression que cette notion de localité laissait trop de liberté pour être pertinente, car du moment que le voisinage d'un point peut-être prit aussi large qu'on le souhaite, quel est l’intérêt, que reste-t-il de local ?

En général on a plutôt des théorèmes qui affirment l'existence d'un voisinage (et d'une certaine fonction sur ce voisinage par exemple), mais rien ne permet de choisir ledit voisinage aussi grand qu'on veut.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Considère la fonction . Il y a un maximum local en , parce qu'on peut trouver une ouvert contenant (par exemple ]1;1,5[) sur le quel la fonction est maximale en . Mais tu ne peux pas prendre n'importe quel ouvert. Sur par exemple, il n'y a plus de maximum ...
En fait, les notions locales sont généralement valides sur un ouvert suffisamment petit.

Cordialement.

[invite93ba509b]

Très bien je vois, après ces éclairements je me sens maintenant plus à même d'aborder la suite de mon cours.
Merci bien d'avoir prit le temps de me répondre,

Bonne journée à vous !