Pivot de Gauss

[invite32e1bb91]

Bonjour,

Ci-joint (veuillez excuser la qualité...), le début de la démonstration de la proposition suivante: Pour toute matrice carrée inversible, il existe une suite d'opérations élémentaires sur les lignes transformant A en une matrice inversible triangulaire supérieure.



Je me posais la question suivante: pourquoi on peut écrire rg(B) = rg(A) - 1 = n - 1 de quoi on déduit que B est une matrice carrée inversible, donc à laquelle on peut appliquer l'hypothèse de récurrence? En effet, je ne comprends pas pourquoi B est nécessairement de rang n - 1 car pour moi, on pourrait obtenir une matrice de rang inférieure à n - 1. Par exemple, si l'on obtient une matrice du type Pièce jointe 283915, alors B est de rang 1 seulement...

Merci bien d'avance pour vos réponses.

PS: il y a un problème dans la démonstration au niveau du "rang de l'hypothèse de récurrence". La preuve commence par supposer P(n) pour démontrer P(n+1) puis suppose par la suite P(n-1) pour démontrer P(n) me semble-t-il, mais peu importe ici...
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[gg0]

Bonjour.

Le système des n vecteurs lignes est libre, donc en enlevant la première ligne, on obtient un système libre de n-1 vecteurs. Un petit calcul montre que supprimer les 0 en début de ligne ne change rien. On a une matrice (n-1)x(n-1) dont les lignes sont libres, elle est inversible. Peut-être ici une utilisation d'un théorème antérieur ?
Si tu disposes du critère du déterminant, il est évident que le déterminant de A est a11 fois celui de B, qui est donc non nul.

Effectivement, il y a eu un mélange dans les tailles de matrices.

Cordialement.

[invite32e1bb91]

Merci bien pour cette réponse. Lorsque vous dîtes: "Un petit calcul montre que supprimer les 0 en début de ligne ne change rien.". Pourriez-vous m'indiquer quel est ce calcul s'il-vous-plaît? Merci d'avance.

[gg0]

Compare l'étude d'une combinaison linéaire nulle de lignes avec ou sans 0 au début.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite32e1bb91]

Bonjour,

Merci beaucoup d'avoir répondu, j'y vois un peu plus clair!

Bonne journée.