Valeurs propres, vecteurs propres et dégénérescence

[invite9fd5dfab]

Bonsoir,

Voici un extrait de mon poly de cours sur les valeurs propres, vecteurs propres et la dégénérescence :



Les deux parties qui sont importantes sont la partie en haut "Remarque la dégénérescence" et les théorèmes n°2 et n°3 en bas.

J'ai jamais compris le cas où il y a une valeur propre dégénéré.

Une fois que j'ai calculé les valeurs propres, et que je calcule les vecteurs propres, dans le cas où une valeur propre est dégénéré deux fois on obtient pour un vecteur propre un plan bidimensionelle.
Après je suis supposé faire quoi avec ça ?
Est-ce que je dois prendre deux vecteurs (orthogonaux entre-eux) apparternant à ce plan bidimensionelle et dire que ces deux vecteurs sont des vecteurs propres ?



Et j'ai l'impression qu'il y a une contradiction dans mon poly de cours.

En haut c'est écrit :

On dira que cette valeur propre est fois dégénérée et il lui correspond vecteurs propres linéairement indépendants.

Ce qui a l'air de signifier que si une valeur propre est dégénérée 2 fois alors les 2 vecteurs propres qui lui corresponde sont linéairement indépendants.

Mais en bas c'est écrit :

Si toutes les valeurs propres sont distinctes (pas de dégénérescence), alors tous les vecteurs propres sont indépendants.

Ce qui a l'air de signifier le contraire exact : que si une valeur propre est dégénérée 2 fois alors les 2 vecteurs propres qui lui corresponde ne sont le plus souvent pas linéairement indépendants.

Donc question : si une valeur propre est dégénérée 2 fois, les 2 vecteurs propres qui lui corresponde sont-ils linéairement indépendants ou non ?


Merci d'avance pour vos explications.
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[albanxiii]

dans le cas où une valeur propre est dégénéré deux fois on obtient pour un vecteur propre un plan bidimensionelle.

Je vous ai dit en physique que cette expression n'a pas de sens !

[invite9fd5dfab]

Je vous ai dit en physique que cette expression n'a pas de sens !

Certes mais je ne comprend toujours pas ce que je suis supposé faire alors dans ce cas.

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonsoir,

Il n'y a pas de contradiction entre les deux phrases que vous citez. Si une valeur propre est dégénérée m fois, alors l'espace propre qui lui est associé est de dimension m. On peut donc trouver dans cet espace un ensemble de m vecteurs propres linéairement indépendants formant une base pour cet espace propre (il y a une infinité de tels ensembles).

Si toutes les valeurs propres sont différentes, alors tous les espaces propres sont de dimensions 1 et un seul vecteur propre par espace propre suffit comme base pour chaque espace propre.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9dc7b526]

Ce qui a l'air de signifier le contraire exact : que si une valeur propre est dégénérée 2 fois alors les 2 vecteurs propres qui lui corresponde ne sont le plus souvent pas linéairement indépendants.

le problème est dans le "les" (les deux vecteurs propres). Dans le cas où un espace propre de dimension supérieure à 1, disons n>1, est associé à une certaine valeur propre, on peut trouver n vecteurs propres indépendants. Mais ils ne sont pas uniques, même à la norme et au sens près.

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonsoir,

Il est vrai que ce "les" est malheureux...

[invite9fd5dfab]

Donc dans le cas où une valeur propre est dégénérée deux fois je choisis deux vecteurs (orthogonaux entre-eux) au hasard appartenant au plan bidimensionnelle et je dis que ces deux vecteurs sont deux vecteurs propres ? Est-ce que c'est bien ça ?

[invite9dc7b526]

oui car si u1 et u2 sont vecteurs propres associés à la même valeur propre, il en est de même de toute combinaison linéaire non nulle a1u1+a2u2 par linéarité.

[ZaneErik]

J'ai pensé à poser ma question ici pour eviter la multiplication des discutions. Si on me dit je suis pas au bon endroit j'en créerais une.

Donc ma question est :
Je voudrais avoir un exemple concret sur comment trouver des vecteurs propres (et les espaces propres associés donc leur base) lorsqu'on a un endomorphisme (matrice d'une application linéaire) et ses valeurs propres calculées ? Et egalement dons le cas de valeurs propres dégénérées que se passe-t-il. (cas que je n'ai pas encore rencontré)
J'en ai déjà fait mais à chaque fois je comprends pas comment on y arrive.
Merci beaucoup d'avance.