Dualité de Poincaré

[invitecbade190]

Bonsoir à tous,

Soient et des variétés projectives sur . Par définition, elles sont isomorphes respectivement à des sous-variétés fermées
de et . Alors le produit fibré est isomorphe à une sous-variété fermée
de . Comme celle-ci est une variété projective par le plongement de
Segre : défini par
,
on en déduit que est aussi une variété projective.
Ma question est la suivante :
On sait que d'après la dualité de Poincaré : et que :

avec : ,et et et

Or ,


Comment trouver l'expression de en fonction de et ?

Merci d'avance.
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[invitecbade190]

J'ai trouvé : , car, de manière générale :

[invitecbade190]

En fait, il fallait écrire : au lieu de . La meme chose pour et , il fallait écrire :

[invite5357f325]

Je n'y connais rien mais attention pour appliquer la dualité de Poincaré il faut que tes variétés algébriques soient non-singulières.
Par exemple la variété (homéomorphe à ) ne vérifie pas la dualité de Poincaré comme tu peux facilement le vérifier.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecbade190]

Oui, c'est vrai, merci. mais j'ai un doute :
Je ne sais pas si :
( produit fibré )
ou bien :
( produit cartésien )
Est ce que vous pouvez m'indiquer la bonne réponse, et pourquoi ?
Merci d'avance.

[invite47ecce17]

Bonjou,
Tu peux nous dire quelle difference tu fait entre le produit fibré au dessus d'un point, et le produit cartésien?

[invitecbade190]

Bonjour MiPaMa :
Pour que le produit cartésien et le produit fibré coincide, il faut que le point soit un objet final dans la catégorie des variétés algébriques ( projectives ). Or moi, je ne sais pas si c'est le cas. Peux tu me dire si c'est oui ou non ?
Merci d'avance.

[invite47ecce17]

Ca ne repond pas a ma question. Quel difference fais tu entre le produit fibré au dessus d'un POINT et le produit catésien.

[invitecbade190]

C'est la même chose il me semble.
Car : et
Donc, , non ?

[invite47ecce17]

C'est quoi pi_1, pi_2, f, g?

[invite5357f325]

MiPaMa : je peux dire des bêtises mais est ce que la topologie n'est pas différente ? Par exemple il me semble que n'est pas pareil que , le premier étant muni de la topologie produit et le deuxième est isomorphe à la surface d'équation dans .

[invitecbade190]

C'est quoi pi_1, pi_2, f, g?

Ce sont ceux qui forment le carré cartésien qui définit la notion du produit fibré comme ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_fibr%C3%A9

[invite47ecce17]

Non, c'est parce que tu change de catégorie entre les deux que tu as cette impression. Soit tu reste tout le temps dans la catégorie topologique, alors le produit fibré est fait au sens topologique (topologie produit). C'est ce qu'on fait si on muni les variétés complexes de leur topologie analytique (celle sur le prduit est bien la topologie produit)
Soit tu es dans la catégorie des variétés muni de leur topologie de Zariski est la topologie de Zasiksi sur le produit fibré comme sur le produit cartésien.
Ce qui est vrai c'est que la topologie produit ne coincide pas avec la topologie de zariski par contre effectivement.

[invite47ecce17]

Ce sont ceux qui forment le carré cartésien qui définit la notion du produit fibré comme ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_fibr%C3%A9

Je veux pas savoir la définition generale, dans ton cas à toi avec tes variétés D_1 et D_2, qui sont pi_1, pi_2, f et g?

[invite5357f325]

MiPaMa : merci de la réponse ! Effectivement j'avais fait cette confusion, c'est clair maintenant !

[invitecbade190]

et et et , non ?

[invite47ecce17]

Donc pi_1 (resp. pi_2) intervient dans la définition de et on utilise pour définir pi_1 (resp. pi_2).
J'aime.

[invitecbade190]

est ce qu'il y'a une erreur ou bien un truc que je ne comprends pas ?

[invite5357f325]

Est ce que dans la catégorie des ensembles tu sais définir un produit fibré ?

(Edit : la remarque de MiPaMa est très clair : si tu te sers de A pour définir B et de B pour définir A tu ne définis rien du tout...)

[invitecbade190]

Oui, c'est le produit cartésien fibre à fibre.

[invite5357f325]

Et ça te donne pas au moins une petite indication de l'ensemble sous-jacent à ??

[invitecbade190]

L'ensemble sous jacent à , c'est , non ?

[invite5357f325]

Oui !! Saurais tu maintenant (finalement!) définir le produit fibré ? Bien sûr, pas besoin de connaître le produit fibré dans Set pour le construire dans la catégorie des schémas mais de voir qu'ensemblistement le produit cartésien ou fibré au dessus d'un point te donne la même chose est déjà un petit indice.
(PS : tu peux aussi calculer l'homologie de la variété projective d'équation et voir que la dualité de Poincaré n'est pas respecté. Il ne faut surtout pas confondre variété algébrique et variété topologique/différentiable.)

[invitecbade190]

Bonjour petrifie :
Dans la catégorie des schémas, la définition de : est :
Je ne vois pas d'autres définition à cet objet. et
Concernant la question de l'homologie évoquée dans ton second point : On est placé dans la catégorie des variétés algébriques ( projectives non singulières )
est ce que lorsque la variété projective est non singulières, alors la dualité de Poincaré est toujours respectée ?
Merci d'avance.

[invite5357f325]

Ça ne va pas. Premièrement, tu te sers encore une fois du produit fibré pour définir le produit fibré ! As tu lu la remarque de MiPaMa ?
Pour la deuxième remarque : c'est bon mais vois tu pourquoi ?

[invitecbade190]

Ça ne va pas. Premièrement, tu te sers encore une fois du produit fibré pour définir le produit fibré ! As tu lu la remarque de MiPaMa ?

Oui, j'ai lu la remarque de MiPaMa, mais, je ne vois pas comment définir ce produit fibré malheureusement malgré mes efforts que je fais.

Pour la deuxième remarque : c'est bon mais vois tu pourquoi ?

Non, je ne vois pas pourquoi, j'ai lu ça dans un de tes messages plus haut. Peux tu m'expliquer pourquoi ?
Merci d'avance.

[invite5357f325]

Je te laisse recopier wikipédia pour le produit fibré

Pour le second point : sais tu donner la définition d'une variété algébrique, puis d'une variété topologique (sur ). Sais tu ensuite prouver que si une variété est une variété algébrique, qui de plus est non singulière, alors c'est une variété topologique. Alors si oui tu pourras comprendre ma remarque.

[invitecbade190]

Je te laisse recopier wikipédia pour le produit fibré

Je n'ai pas compris du tout. J'ai vu dans wikipedia, et elle propose la même définition que j'ai donné. ( Source : https://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_fibr%C3%A9 )

Pour le second point : sais tu donner la définition d'une variété algébrique, puis d'une variété topologique (sur ). Sais tu ensuite prouver que si une variété est une variété algébrique, qui de plus est non singulière, alors c'est une variété topologique. Alors si oui tu pourras comprendre ma remarque.

Voiçi un extrait cité par Universus concernant la réponse à ta deuxième réponse : ( Source : http://forums.futura-sciences.com/ma...-complexe.html )

Pour une variété algébrique, cette notion étant définie comme le lieu d'annulation d'une fonction, il faut se ramener au cas des variétés topologiques par étapes. Le lieu singulier d'une variété algébrique est de mesure nulle dans cette variété, donc son complément est une réunion disjointe de variétés topologiques ; le lieu singulier est lui-même une variété algébrique, donc on réitère la procédure. Ce faisant, toute variété algébrique est une réunion de variétés topologiques et il faut penser à une façon de définir des structures de complexes CW compatibles sur chacune.

Merci, j'ai compris ce point là.

[invite5357f325]

Premier point : Tu l'a défini correctement au premier paragraphe mais tu as été incapable d'en donner une version concrète. Et ce qu'il faut que tu comprenne c'est que les pi_1 et pi_2 font partie de la définition d'un produit fibré. Par exemple, un fibré vectoriel ce n'est pas l'espace total E même si c'est à lui qu'on pense : c'est un triplet (E,pi,B) tel que blabla.

Deuxième point : Non, un CW-complexe n'est pas une variété topologique (en général). Pour un contre exemple prendre un cône.

Et finalement : j'espère que tu comprends maintenant que ta question n'a pas de sens car comme l'a dit MiPaMa le produit cartésien et du produit fibré au dessus d'un point coïncide, car ils ont la même propriété universelle.

[invite5357f325]

Je te rajoute un petit exercice pour te faire réfléchir : dans le plan , on considère le sous ensemble X donné par l'union de l'axe des x et l'union de l'axe des y. 1) montrer que X est une variété algébrique. 2) montrer que X n'est pas une variété topologique.