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Poincaré-Bendixon



  1. #1
    Maquessime

    Poincaré-Bendixon


    ------

    Bonjour, dans l'étude des sys. diff. non linéaires, pour prouver qu'il existe une orbite périodique, on utilise souvent le théorème de Poincaré-Bendixon et une fonctione "auxiliaire" pour déterminer un domaine de confinement. J'aimerais bien savoir quel est le lien entre cette fonction auxiliaire et le sys. diff. de départ ? merci !

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  2. #2
    rvz

    Re : Poincaré-Bendixon

    Citation Envoyé par Maquessime Voir le message
    Bonjour, dans l'étude des sys. diff. non linéaires, pour prouver qu'il existe une orbite périodique, on utilise souvent le théorème de Poincaré-Bendixon et une fonctione "auxiliaire" pour déterminer un domaine de confinement. J'aimerais bien savoir quel est le lien entre cette fonction auxiliaire et le sys. diff. de départ ? merci !
    Bonjour,

    Je suppose que tu fais référence à l'indice topologique, qui est une fonction qui, grossièrement, permet de te dire si tu es à l'intérieur d'une courbe fermée ou à l'extérieur. C'est aussi beaucoup utilisé en analyse complexe, pour théorème de résidus et autres.

    Sinon, le théorème de Poincaré Bendixon est en fait assez simple (du moins moralement) : Il s'agit de remarquer que si une trajectoire est bornée, par compacité, elle va avoir des points d'accumulation. Si ton système n'a pas de point d'équilibre, l'ensemble des points d'accumulation ne peut pas être réduit à un singleton. Cependant, on peut démontrer qu'il est stable quand on fait évoluer les trajectoires, et cela permet d'en déduire, avec beaucoup de travail, que l'ensemble limite est en fait une trajectoire fermée.

    Je n'ai malheureusement pas de très bonnes références à ce sujet, mais peut-être edpiste en a-t-il ?

    __
    rvz

  3. #3
    Taar

    Re : Poincaré-Bendixon

    Salut !

    Pour les systèmes physiques, on utilise souvent l'énergie mécanique comme fonction de Lyapunov. On peut associer une "énergie" à certains systèmes non physiques également.

    Mais en général il n'y a pas de méthode pour en fabriquer. Voir :

    http://fr.wikipedia.org/wiki/Stabilit%C3%A9_de_Lyapunov

    http://www.cds.caltech.edu/~prajna/p...df/CDC02_1.pdf

    http://lawww.epfl.ch/webdav/site/la/...copieRelie.pdf

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