Conjoncture de Poincaré

[invitec5a4e7e6]

Qu’est ca que la conjoncture de Pointcarré. Tant qu’on y est un peu de ba-ba de topologie, s’il vous plaît !
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[invite285ab944]

tu veux dire la conjecture de poincaré?

je site mon dico de maths

pour n (>ou=) 3 la conjecture de poincaré affirme que dans R^n toute surface compacte orientable et simplement connexe est homéomorphe à la sphere Sn.
poincaré savait ce resultat exact pour n=2.
cette conjecture a ete prouvee pour n>ou= 5 par Smale en 1965 et pour n=4 par Freedman en 1981 mais pour n=3 le probleme reste ouvert en 1992.

[inviteab2b41c6]

Et a été résolu cette année par un russe.

[invite8f53295a]

Tout d'abord la sphère S_n n'est pas dans R^n mais dans R^(n+1), et puis je ne suis pas sûr qu'il soit imposé que l'espace doive être un plongé dans R^(n+1).

Pour une définition intuitive des termes espace (je préfère ce terme à celui de surface en dimension supérieure à 2) compact orientable simplement connexe :
compact : ça signifie en gros que l'espace est "fermé" (en un sens non mathématique). Par exemple une ellipse un cercle sont des compacts, mais pas une hyperbole (pour la fermer il faudrait rajouter deux points à l'infini). La sphère S_n de dimension n est bien entendu également un compact.
orientable : bon ça ça semble assez clair : on peut orienter la surface, parler du dehors et du dedans, pour des espaces non orientables, on a le ruban de Möbius, la bouteille de Klein...
simplement connexe : c'est lypothèse vraiment importante, et la plus difficile à expliquer je pense. Ca signifie que l'espace n'a pas de "trous topologique". Je vais donner des exemples le cercle n'est pas simplement connexe : il y a un gros trous au milieu, les sphères sont simplement connexes : par exemple en dimension 2, il n'y a pas de trous dans la surface de la sphère. Un tore n'est pas simplement connexe, c'est un peu le même problème que pour le cercle. Mais bien sûr, cette définition n'est pas rigoureuse : en fait cela signifie surtout que tout lacet peut être déformé de façon continu en un point (ce n'est visiblement pas toujours possible sur un cercle et un tore).

Et homéomorphe, ben ça signifie "même forme", que topologiquement les surfaces sont les mêmes.

Finalement, une variété compacte orientable simplement connexe de dimension n est homéomorphe à la sphère S_n (je n'ai pas expliqué le terme variété, mais il suffit de penser à ça comme un espace pas trop pathologique).

Bien sûr si tu veux maintenant les véritables définition topologiques de tous ces termes, je suis prêt à te les donner.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51f4efbf]

Et a été résolu cette année par un russe.

De mémoire, c'est Perelman, qui a utilisé la technique de Hamilton (déformation de la métrique par le flot de Ricci - Hamilton a ainsi montré qu'une variété compacte de dimension 3 admettant une métrique courbure de Ricci positive admet également une métrique à courbure sectionnelle positive - ce résultat est pas facile facile...).

[inviteab2b41c6]

Ce qui est marrant dans l'histoire, c'est que seul le cas n=3 posais problème, alors que pour n>3 c'est limite trivial d'après les spécialistes...

[inviteb7bc207b]

Bonjour,

Si on trouve un algorithme qui permet de dire pour n'importe quelle surface si elle est ou non déformable en une sphère, est-ce suffisant pour démontrer cette conjecture ?



(Cet algo appliqué à une surface en forme de poire va dire oui et appliqué à un tore va dire non).