[Apprendre à apprendre] Quelles visualisations en Maths avancées?

[invite0b5bb75e]

Bonjour,

Notre cerveau a du mal avec les données abstraites, et fonctionne mieux par la visualisation pour comprendre et mémoriser. C'est ce qu'on entend comme généralité sur le fonctionnement du cerveau. Je pars de cela pour réfléchir à "apprendre à apprendre en Maths", niveau avancé (Univ, agrégation, voire même Maths professionnelles).

Mais à quoi correspond la visualisation en Maths avancés, niveau Université, Agrégation et même pour les mathématiciens professionnels? "voir" est ambiguë, car on "voit" a^2+b^2=c^2 à un certain niveau, alors qu'à un niveau très basique collège on ne voit que des carrés. Les matheux professionnels "voient"-ils à partir des définitions et théorèmes? là est la question.

L'exemple clé est en algèbre où les choses sont essentiellement abstraites:
- Visualisation d'un groupe? des sous groupes? des groupes distingués? il y a des diagrammes de Cayley, etc, mais bon c'est limité. Comment visualiser les actions de groupe...
- Pour les anneaux surtout, je ne vois pas du tout comment visualiser la structure, et les idéaux? Pour les corps, extension, séparabilité, etc, encore moins. Les diagrammes commutatifs sont très bien, mais limités à leur cas d'application.

J'ai aussi des difficultés en analyse fonctionnelle: pas moyen de trouver des représentations simples (complet, compact, espaces denses, etc) autres que "patates" plus ou moins surchargées.

Bref je cherche à approfondir mes compétences en Maths en développant des visualisations appropriées, mais je ne les trouve pas vraiment, je finis souvent par faire des patates, et je me demande même si cette recherche est sensée (on n'a pas de visualisation pour la multiplication de matrices!). J'ai été marqué par le Pommelet (Analyse pour l'agrégation) qui en préambule dit qu'il faut toujours dessiner pour comprendre...

Merci de vos avis sur cette question peut être inhabituelle.
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[stefjm]

Bonjour,
Une réponse possible : La physique permet de visualiser "dans le monde réel" les concepts mathématiques.

Exemple tout bête pour expliquer ce que je veux dire :
Un cercle mathématique n'est pas un trait tracé sur du papier, mais cela permet de voir certaines propriétés du cercle.

Cordialement.

[invite0b5bb75e]

Oui, mais ton exemple est bien trop simple pour faire face à des concepts profonds comme anneaux, idéaux, corps, etc.

Tu as l'air physicien, alors je vais t'expliquer comme ça: l'analogie théorique entre la pression et la différence de potentiel électrique permet d'avoir l'analogie visuelle de tuyaux à différentes hauteurs pour représenter les différences de potentiel électrique. L'intuition est familière avec cette situation et ça sert énormément car l'intuition est importante en maths. Là je cherche ce genre de choses mais en maths de bon niveau, et je me demande aussi si c'est ce que font les matheux disons professionnels.

[gg0]

Bonjour Keres0.

Les mathématiciens qui se sont penché sur la question on donné des réponses diverses. La notion de "voir" n'a pas de sens pour certains (je pense à deux aveugles qui sont devenus profs d'université ... en géométrie - l'un a été mon condisciple). Et je connais une autre personne qui ne "voit" rien face à un calcul, mais est agrégé et docteur en maths, très compétent en logique et théorie des ensembles.
Donc il te faut trouver ce qui te permet de "comprendre", d'avoir de l'intuition ou au moins des résultats (je n'ai que très peu d'intuition en algèbre de haut niveau, ce qui ne m'empêcha pas d'avoir une note brillante à l'épreuve d'algèbre de l'agreg interne). Quelques pistes :
* L'habitude ("en maths, on ne comprend pas, on s'habitue")
* Les schémas simples corrigés par la compréhension de en quoi ils trahissent la notion
* La connaissance très précise des définitions et théorèmes, sans rajouter de signification
* L'expérience (beaucoup de travail !)

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0b5bb75e]

Merci pour ta réponse très éclairante (je vais même peut être l'imprimer comme mémo!).

[invite0b5bb75e]

si tu as des références ça m'intéresse quand même...

en tout cas le "les maths on comprend pas, on s'habitue", c'est excellent.

[Médiat]

J'avoue ne pas adhérer à cette formule de gg0, mais elle me fait penser à une remarque de Godement : "L'abstrait en mathématiques, c'est ce qui devient concret au bout de deux ans".

[gg0]

Je suis d'accord avec toi, Médiat, moi non plus je ne ramène pas la compréhension à l'habitude, mais c'en est une des composantes. Plus exactement, je pense qu'à manipuler le symbolisme ou les énoncés, on construit des images mentales qui sont liées à ce symbolisme ou ces énoncés, mais qui ne sont pas consciemment des images.

Cordialement.

[inviteb3412e7c]

Différents auteurs en psychologie existent concernant le développement psychique et l'apprentissage. Pour ne citer qu'eux il y a Piaget, Wallon, Wygotsky, Erikson.

[invite0b5bb75e]

Oui mais ma discussion porte justement sur les Maths, pas l'apprentissage en général (où justement on dit que la visualisation est une aide efficace, ce qui semble beaucoup moins vrai en Maths): je cherche les références de matheux (cf. gg0).

[invite0b5bb75e]

Donc en fait si je reviens à la question initiale "Optimiser son apprentissage en Maths en visualisant" en gros c'est non (la visualisation viendrait plutôt avec le temps, pas initialement).

Pour finir, je répète un peu ma question de l'autre fil, mais connaissez-vous des références, des méthodes, ou des trucs qui marchent sur "Comment optimiser son apprentissage seul en Maths"? (par exemple, assimiler seul la théorie de la mesure en 6 mois en temps quotidien limité).

[Médiat]

. à la question initiale "Optimiser son apprentissage en Maths en visualisant" en gros c'est non .

Je serais plus mitigé : ça dépend (du domaine (faire de la géométrie (y compris non-euclidienne sans visualiser me paraît difficile) ; visualiser les cardinaux inaccessibles m'est impossible, et pourtant j'ai travaillé dessus), de la personne concernée (certains sont plus enclin aux raisonnements purement formels (où la visualisation n'est pas obligatoire) et d'autres ont une relation "tangible" (mais dans la tête quand même ) avec les mathématiques))

Si quelqu'un pouvait retrouver cet anecdote de 2 mathématiciens (célèbres) discutant chez l'un d'entre eux lorsque la femme de l'un d'entre eux a allumé la lumière ... et c'est fait incendier "Ah non ! Juste au moment ou j'allais visualiser ..." (je ne sais plus quoi).

[invite8133ced9]

[...] visualiser les cardinaux inaccessibles m'est impossible [...]

Et les cardinaux accessibles? ^^

Une des limitations majeures de la visualisation est qu'on aura tendance à visualiser de la même façon la droite rationnelle, la droite réelle, la droite réelle algébrique, ce qui oblige à faire des détours par les concepts même dans les preuves de géométrie.

[Médiat]

Et les cardinaux accessibles? ^^

Certains sans problème (0, 2 ou 12) d'autres avec un petit effort (546546513451543213521, ), j'avoue que j'ai du mal avec , mais je ne serais pas étonné que Shelah le "visualise" parfaitement.

[invite8133ced9]

D'accord. Cela m'impressionne en fait; personnellement je serais incapable de visualiser $\aleph_1$ d'une manière qui le distingue de tous les ordinaux plus petits.

[Médiat]

J'ai failli rentrer dans les détails et dire par exemple que m'est plus facile à visualiser que , alors que j'ai utilisé le deuxième une infinité (dénombrable ) de fois plus que le premier. Tout en ayant du mal à le "visualiser", je n'ai aucun problème à l'utiliser (cf. la remarque de Godement que j'ai citée).

[invite8133ced9]

Ca, c'est encore plus étonnant. Comment visualisez-vous ? (si c'est possible à décrire)

[Médiat]

(si c'est possible à décrire)

J'ai mis "visualiser" entre guillemets parce que ce n'est pas une visualisation au sens strict (comme la géométrie par exemple), c'est juste que je le perçois (pas en tant qu'objet d'ailleurs, puisqu'il est différent suivant les modèles), mais en tant que sa définition autorise).

J'imagine que je ne suis pas clair du tout, mais je ne saurais l'expliquer plus.

Si j'ai cité 546546513451543213521 dans la liste des cardinaux que je ne visualise pas bien, c'est parce que pour les cardinaux finis, c'est tentant d'avoir une représentation précise (qui distingue entre 10 et 11), ce que je ne sais pas faire à partir d'un certain nombre, alors que pour les cardinaux infinis la représentation est un autre ordre.

Je pense que se représenter les ordinaux etc, ne pose de problème à personne

[invite8133ced9]

Je vois. Au sujet des cardinaux finis, cela rejoint un peu le topic sur les grands nombres: pour pouvoir visualiser il faut pouvoir compresser suffisamment les données. Sauf qu'ici, 546546513451543213521 n'est déjà plus satisfaisant!

[inviteb3412e7c]

C'est vrai que les cardinalités ne sont pas facile à visualisées à partir d'un certain point. Avec l'hypothèse du continu on a
c'est la cardinalité de
c'est la cardinalité de
c'est la cardinalité de l'espace des fonction de dans
c'est la cardinalité de l'espace des opérateurs de fonctions de dans
Dès mon vocabulaire me fait défaut, et c'est peut-être aussi ce qui manque pour visualiser ce qu'il se passe.
Je ne parle même pas de qui m'est tout à fait inaccessible.
N'oublions pas que la pensée est d'abord verbale, même si elle peut aussi être corporelle ou instinctive. La visualisation c'est donc autant une affaire de mise en mot que de se créer une image.

[Médiat]

Avec l'hypothèse généralisée du continu, c'est "facile" :