Petites questions sur les tenseurs/produit tensoriel

[mach3]

Bonjour,

1) Soit un ensemble de n espaces vectoriels, tous de dimension 1 et tous définis sur un corps K. Est-ce que l'ensemble formé par K, ces n espaces vectoriels, leurs duals ainsi que tous les produits tensoriels possibles entre ces espaces et leurs duals, muni du produit tensoriel comme loi de composition, forme un groupe abélien?

2) Considérons tous les éléments du corps K, ainsi que ceux de ces espaces vectoriels de dimensions 1, ceux de leurs duals, et aussi ceux de leurs divers produits tensoriels possibles et toutes les sommes possibles entre ces éléments (des sommes d'un membre de K avec divers vecteurs provenant des différents espaces et divers tenseurs de rang arbitrairement élevé), on m'a dit que c'était une algèbre tensorielle. Cet ensemble est-il un corps?

N'hésitez pas à demander plus de précisions, car je ne suis pas certain d'utiliser les termes correctement.

Merci d'avance pour vos réponses

Cordialement

m@ch3
-----

[invite02232301]

Bonjour,
1/ OUi, mais c'est pas un groupe tres intressant, c'est Z^n.
2/ En l'etat ta question est incomprehensible. Tu prend la réunion de tout ca? Je pense que non, je pense que tu regardes plutot l'algèbre tensorielle de . Ca n'est pas un corps non.

[mach3]

1/ OUi, mais c'est pas un groupe tres intressant, c'est Z^n.

pour moi c'est très intéressant. J'avais des doutes sur le caractère abélien et l'associativité (pour le neutre, l'inverse, la loi interne j'avais des démonstration satisfaisantes) car le wiki sur le produit tensoriel n'est pas clair pour moi (je ne suis pas un super matheux, mon dernier cours de maths était en 2002...) et je n'étais pas sur du tout des choses que je griffonnais pour me le démontrer...

2/ En l'etat ta question est incomprehensible. Tu prend la réunion de tout ca? Je pense que non, je pense que tu regardes plutot l'algèbre tensorielle de . Ca n'est pas un corps non.

Mince...

Un truc avec des élèments du genre avec a,b,c,d,e,f,g des scalaires du corps K, u le vecteur de base d'un espace de dimension 1, u' le vecteur de base de son dual, v le vecteur de base d'un autre espace de dimension, v' le vecteur de base de son dual, etc

J'avais l'impression que c'était un corps. Je vous donne mes arguments, dites moi où cela pêche
est distributif sur +
L'ensemble privé de 0, muni de est un groupe abélien:
-loi interne
-associative
-commutative
-neutre
-inverse... euh.. je crois que c'est la que ça pêche en fait, il devait être trop tard hier soir...
L'ensemble muni de + est un groupe abélien
-loi interne
-associative
-commutative
-inverse

C'est un anneau alors si il y a pas d'inverse pour la multiplication, c'est ça?

merci

[invite02232301]

C'est un anneau alors si il y a pas d'inverse pour la multiplication, c'est ça?

Oui, c'est une k-algèbre, en particulier un anneau.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

2/ En l'etat ta question est incomprehensible. Tu prend la réunion de tout ca? Je pense que non, je pense que tu regardes plutot l'algèbre tensorielle de . Ca n'est pas un corps non.

L'idée j'imagine serait de munir cette algèbre d'un inverse, en modifiant la multiplication tensorielle en y incorporant la contraction entre un tenseur de Ln et un tenseur de Ln^{-1} quand les deux sont présents.

J'écris ça sans être sûr que ce soit possible. La question est donc si cela a un sens.

[invite02232301]

Je ne pense pas que ca suffise à en faire un corps. Parce qu'on inverse que les "monomes". Par exemple, prenons le cas où n=1. Quel serait l'inverse de 1-v, pour v un vecteur non nul de L_1? En fait, dans ce cas là, l'algèbre serait isomorphe à k[X,X^{-1}], qui n'est pas un corps.
Pour autoriser la contraction, il suffit de quotienter par l'idéal engendré par
Le moyen le plus simple d'en faire un corps est de prendre le corps des fractions.

[mach3]

Le problème c'est qu'une somme d'un réel, de vecteurs et de tenseurs, multipliée par une autre, va, via la distributivité générer des tas de termes dont seulement certains réels (en gros les termes réels par réels et vecteur par un vecteur de son dual), donc c'est foutu vu qu'on veut avoir 1 comme résultat pour qu'une somme soit l'inverse de l'autre
Ce problème n'existe pas pour a+ib (et j'imagine pour a+bi+cj+dk), car le produit de i par lui même est un réel et du coup on peut construire un inverse.
On va en fait droit vers les algèbres de Cliford auxquels je ne comprend rien pour l'instant.

m@ch3

[invite02232301]

Les algèbres de Clifford, algébriquement, c'est tres simple, si tu autorises la contraction, comme on a dit plus haut, alors ce que tu as c'est pile l'algèbre de Clifford sur L, associée à n'importe quel produit scalaire sur L (pour un seul espace).
Si tu en prend plusieurs L_1,..., L_n alors ton algèbre c'est l'algèbre de clifford sur la somme directe, pour une métrique diagonale (il n'y en a qu'une à isométrie pres).

[mach3]

seriez vous capable de m'expliquer, en vulgarisant un peu, c'est qu'est une algèbre de Cliford, si possible avec des exemples? Les documents que je trouve sur le sujet sont difficiles d'accès pour moi.

m@ch3

[invite02232301]

Comme je le disais la construction algébrique et les propriétés algébriques des algèbres de clifford sont très simples, ce qui est compliqué/riche, c'est de faire de la géométrie/analyse avec (un peu comme pour les nombres complexes en fait).
Si tu prend V un k-espace vectoriel, muni d'un forme quadratique q (eventuellement degenérée), l'algèbre de clifford, c'est l'algèbre la plus simple, contenant tous les elements de V, et telle que v.w+w.v=-2q(v,w).
Dit autrement si tu possèdes une k-algèbre A, muni d'un morphisme, disons c, de V dans A, tel que c(v)c(w)+c(w)c(v)=-2q(x,w) alors elle se factorise de manière unique à travers l'algèbre de Clifford Cl(V,q).
Pour la constuire c'est tres simple, on quotiente l'algèbre tensorielle par l'idéal engendré par pour tout v et w. En particulier si on prend q=0, on retrouve l'algèbre exterieure. Il est immédiat de vérifier que la propriété (dire universelle) mentionnée dans mon precedent paragraphe est vérifiée.
Ca c'est pour les definitions, est ce que ca te parait clair?

[mach3]

merci bien, je n'aurais pas le temps d'étudier à fond votre explication aujourd'hui, donc disons que pour l'instant c'est encore obscur. Je reviendrais plus tard quand je l'aurais digérée pour vous poser des questions sur les points qui ne passerait pas, si vous le voulez bien.

m@ch3