Produit tensoriel.

[invite1fea8b06]

Bonsoir,

J'ai un petit problème que je n'arrive pas à démontrer complètement. Je crois que la solution doit être assez courte mais je coince
Pourriez-vous m'aider ?

Voici mon problème : et sont deux applications linéaires. On demande de montrer qu'il existe une seule application linéaire



telle que pour tout et pour tout .


Pour ma tentative de résolution, je commençais pas utiliser la propriété universelle du produit tensoriel que j'appliquais à ce qui me donnait la chose suivante :
pour toute application bilinéaire x , il existe une unique application linéaire telle que .

Je pense que l'idée est là et je pense ne pas être loin de la solution mais que ce que j'écris est sans doute incomplet et peut-être je ne prends en plus pas les bonnes notations par rapport à l'exercice. Pourriez-vous m'aider ?

Merci d'avance !
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[invite1fea8b06]

Excusez-moi, j'ai oublié de spécifier que lorsque j'écrivais
et bien, je prenais et .

Disons que j'ai bien l'impression que je n'ai assez justifié ... Est-ce que je peux faire ça comme ça tout simplement en fait ? J'ai un gros doute.

Quelqu'un pourrait-il m'aider ?

[invite1fea8b06]

Voici mon problème : et sont deux applications linéaires. On demande de montrer qu'il existe une seule application linéaire



telle que pour tout et pour tout .

N'ayant vraiment reçu aucune réaction, j'ai encore relu ce que j'avais écrit, et je me suis aperçue que de un, j'avais fais une faute "d'écriture" et de 2, je n'avais pas bien exprimé là où était mon problème (que je n'ai toujours pas su résoudre à ce jour). L'énoncé reste bien sûr le même (cf. la citation ci-dessus sauf que j'ai retiré l'erreur).
Par contre, pour ce qui est de la ma résolution, je vais la réécrire et mieux exposer ma difficulté :

J'utilise en fait la propriété universelle du produit tensoriel que j'applique à ce qui me donne :
pour toute application bilinéaire x , il existe une unique application linéaire telle que .
J'ai au moins montré que l'application linéaire donnée était unique.


Ma 1ère question est : est-ce que ma façon d'appliquer la propriété universelle du produit tensoriel à ce problème-ci est correcte ?

2e question : est-ce que le fait d'avoir appliqué la propriété universelle du produit tensoriel implique directement le fait que

est telle que pour tout et pour tout ?

Merci d'avance !

[Amanuensis]

[Tentative de réponse, qui vaut ce qu'elle vaut...]

Ma 1ère question est : est-ce que ma façon d'appliquer la propriété universelle du produit tensoriel à ce problème-ci est correcte ?

Elle est un peu elliptique... Et votre deuxième question est troublante, car elle ne se pose pas si la démo est développée correctement.

Faudrait que vous indiquiez en clair à quelle vous appliquez la propriété universelle. On s'attend à une démo genre "soit telle fonction , en la définissant ; elle est bilinéaire (le montrer) ; on y applique la propriété universelle, une fonction existe et est unique ayant telle propriété; c'est donc celle notée dans l'énoncé.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1fea8b06]

Elle est un peu elliptique... Et votre deuxième question est troublante, car elle ne se pose pas si la démo est développée correctement.

Faudrait que vous indiquiez en clair à quelle vous appliquez la propriété universelle. On s'attend à une démo genre "soit telle fonction , en la définissant ; elle est bilinéaire (le montrer) ; on y applique la propriété universelle, une fonction existe et est unique ayant telle propriété; c'est donc celle notée dans l'énoncé.

Merci ! Cela va me guider je pense vers une démonstration correcte J'essaie sur le champ et vous redonne de mes nouvelles dans quelques instants

[invite1fea8b06]

On s'attend à une démo genre "soit telle fonction , en la définissant ; elle est bilinéaire (le montrer) ; on y applique la propriété universelle, une fonction existe et est unique ayant telle propriété; c'est donc celle notée dans l'énoncé.

Je me lance ... Peut-être que comme vous le conseillez, je verrai plus clair lorsque j'aurai montré la bilinéarité (mais je vais utiliser d'autres notations pour simplifier et pour qu'il n'y ai pas de confusion).

D'abord, je trouve une base : une base de est : .

Considérons l'application x x .

Cette application est bilinéaire :

quelque soit x , quelque soit .



.

Dès lors, on peut utiliser la propriété universelle du produit tensoriel .
On sait alors qu'il existe une seule application linéaire telle que .
Cela implique en particulier (pour les tenseurs élémentaires) que quelque soit et quelque soit .

On peut dès lors identifier à .

Est-ce que vous pensez que j'ai enfin réussi ?

Merci d'avance pour vos réponses.

[Amanuensis]

J'essaierai de répondre sur le fond plus tard. Sur la forme, ce serait plus lisible en utilisant le \times de LaTeX au lieu du "x" en mode texte...

[Amanuensis]

Considérons l'application x x .

Je dois avouer que je ne comprends pas bien. Cela ne semble pas très général.

Mon idée était plus simple

l'application .

[invite1fea8b06]

Je dois avouer que je ne comprends pas bien. Cela ne semble pas très général.

Mon idée était plus simple

l'application .

Oui ça a l'air plus simple en effet et j'y avais pensé mais je ne vois pas comment appliqué directement la propriété universelle à ? C'est pour ça que j'ai dû faire autrement (je le fais de façon indirecte et puis, j'identifie).
Mais ce que je me demande, c'est si tout est bon dans ma réponse (voir mon message plus haut) ?

[invite1fea8b06]

Je dois avouer que je ne comprends pas bien. Cela ne semble pas très général.

Mon idée était plus simple

l'application .

Rebonjour,

Excusez-moi d'insister, mais doutant de plus en plus de ma réponse et voyant que vous ne la trouvez pas générale (ni même peut-être bonne), pourriez-vous me dire comment vous appliqueriez directement la propriété universelle du produit tensoriel à votre idée, je veux dire à l'application , s'il vous plaît ?

Car vous la dites plus simple, et vous avez sans doute raison, mais hélas, je suis incapable d'appliquer la propriété universelle du produit tensoriel directement à votre application, et ce n'est pas faute d'avoir essayé ...

Cela m'aiderait vraiment.
Merci.

[Amanuensis]

Faut montrer que g est bilinéaire. Pas difficile!

On peut y appliquer la propriété universelle, qui affirme l'existence et l'unicité d'une fonction ayant une certaine propriété. Quelle est cette propriété?

[D'une certaine manière c'est peut-être trop simple! Et vous pourriez dire que c'était votre première réponse... Mais pas exactement, c'est une question de rédaction.]

[invite1fea8b06]

Faut montrer que g est bilinéaire. Pas difficile!

On peut y appliquer la propriété universelle, qui affirme l'existence et l'unicité d'une fonction ayant une certaine propriété. Quelle est cette propriété?

Mais j'ai déjà montré que g était bilinéaire. Seulement vous sembliez dire que ma réponse n'était pas bonne ... Et c'est peut-être vrai que je me suis trompée mais si je me suis trompée quand j'ai voulu montrer la bilinéarité, j'aimerais savoir où ?
Vous semblez avoir cerné mon problème, mais moi, non . Je ne vois pas où est le problème dans ma réponse, je veux dire, là où je me serai trompée ...

[Amanuensis]

Mais j'ai déjà montré que g était bilinéaire. Seulement vous sembliez dire que ma réponse n'était pas bonne ...

Je n'ai pas écrit cela, juste que je ne comprends pas. Précisément dans , je ne comprends pas ce passage par l'écriture . Cela laisse penser que B1 est l'espace des fonctions linéaires de B2 vers , ce qui ne me semble pas général. Mais je peux me tromper.

[azizovsky]

Salut , pour démontrer l'unicité , on suppose qu'il existe deux application :

H, H' deux ev qui satisfont la propriété universelle à savoir : pour tous espace véctoriél G et pour toute application bilinéaire il existe linéaire telle que
on pose telle que ,de la même façon ,mais en inversant les rôles de , il existe un unique telle .on'a donc (triviallment) en m^me temps ,d'aprés la propriété universelle de ,on'a alors et de même que et donc est une bijection de H dans H'.(je vais être en retard pour le travail ....)

[invite1fea8b06]

Une base de est : .

Considérons l'application x x .

Cette application est bilinéaire :

quelque soit x , quelque soit .



.

Dès lors, on peut utiliser la propriété universelle du produit tensoriel .
On sait alors qu'il existe une seule application linéaire telle que .
Cela implique en particulier (pour les tenseurs élémentaires) que quelque soit et quelque soit .

On peut dès lors identifier à .

Merci Azizovsky, mais lorsque j'ai fait ce que j'ai écrit ci-dessus (cf. ma citation), cela impliquait également que l'application linéaire en question était unique. Seulement vous remontrez l'unicité (avec d'autres notations encore et là aussi, je n'arrive pas à faire le lien avec ce qui est demandé dans l'énoncé), donc j'en déduis que vous trouvez ce que j'ai écrit ci-dessus incorrect en tout cas, en ce qui concerne l'unicité, n'est-ce pas ? Si oui, j'aimerais vraiment que m'aidiez à y voir plus clair, s'il vous plaît.
Car je m'y perds avec les remarques qui m'ont été faites. Je ne sais plus ou pas si mon application de la propriété universelle du produit tensoriel est correcte ou si ce que j'ai fait ne pouvait directement être écrit comme je l'ai fait ?
Merci.

[Amanuensis]

Soit l'application .

Cette application est bilinéaire, puisque l'application est linéaire, ainsi que l'application pour fixée. (Et même démo, mutatis mutandi, pour l'indice 2.)

On peut y appliquer la propriété universelle, qui affirme l'existence et l'unicité d'une fonction linéaire ayant la propriété suivante :



(C'est à dire une fonction linéaire qui coïncide avec g sur les éléments particuliers de qui peuvent s'écrire )

Autrement dit, il y a une unique fonction ayant la propriété suivante, en remplaçant pas sa valeur:



Ce qu'il fallait démontrer...

[invite1fea8b06]

Un grand merci à toi Amanuensis !

Mais une dernière petite question : est ce qui est mis dans la citation ci-dessous suffit vraiment à prouver que c'est bilinéaire ? Encore merci en tout cas.

Cette application est bilinéaire, puisque l'application est linéaire, ainsi que l'application pour fixée. (Et même démo, mutatis mutandi, pour l'indice 2.)

[Amanuensis]

Pour moi, oui. Bilinéaire veut dire linéaire en un des arguments l'autre étant fixé. La démo consiste à montrer que c'est alors la composée de deux fonctions linéaires. J'aurais pu détailler un peu plus, comme ajouter une référence au théorème disant que la composée de deux fonctions linéaires est linéaire...

[invite1fea8b06]

Pour moi, oui. Bilinéaire veut dire linéaire en un des arguments l'autre étant fixé. La démo consiste à montrer que c'est alors la composée de deux fonctions linéaires. J'aurais pu détailler un peu plus, comme ajouter une référence au théorème disant que la composée de deux fonctions linéaires est linéaire...

Encore merci à vous, Amanuensis