Tenseurs et Produit tensoriels.

[invite76543456789]

Bonjour,
Suite a de nombreuses discussion avec differents membre sur le concept de produit tensoriel j'ai eu envie de produire un petit document donnant une approche concise mais assez exhaustive du sujet.

Bien sur ce document n'a aucune pretention a l'originalité, cependant j'ai essayé dans la mesure du possible de donner un traitement moderne (les familliers du sujet verront qu'en fait je n'ai fait que traduire le traitement moderne dans un cadre simple) du concept de tenseur, tout en restant completement élémentaire (je traite uniquement du cas des R-espaces vectoriels). En principe le cours est accessible a un etudiant ayant terminé sa L1 (de maths ou de physique). Le seul prerequis est l'algèbre linéaire de première année.

J'espere que cela contribuera a repondre a certaines des questions que l'on voit trainer ici ou la sur le forum (et qui ont amené a la production de beauoup de sujets).

J'espere aussi que ce texte plaira aux physiciens, car il me semble que l'approche "moderne" permet de saisir le concept de tenseur avec beaucoup plus de force et de clarté, et dans un contexte moins "touffu" (ou plus épuré).

Enfin, les lecteurs debutant en theorie des catégories pourront voir ici l'application concrete de certains concepts de theorie des catégories (bien qu'aucune notion catégorique ne soit necessaire pour lire le document en question) et pourront peut etre mieux saisir l'introduction de certains concepts (comme la notion de foncteur representable, de propriété universelle, ou d'adjoint) et la puissance de ceux ci.

Voila j'ai fait ma pub . Je suis bien sur tout ouïe a tout commentaire, suggestion etc...

Cordialement.
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[invited73f5536]

Bonjour,

Je trouve le document très clair, et bien présenté. C'est comme ça que je vois personnellement le produit tensoriel, donc aucune critique de ma part sur ce point.

Quelques remarques :
- Je ne suis pas sur de comprendre pourquoi l'algorithme de Gram-Schmidt fait son apparition ici. (et même l'identification canonique dans le cas des espaces euclidiens, bien que ça constitue une parenthèse logique dans le cadre de ce rappel sur la dualité)
- Un rappel des définitions d'espace vectoriel gradué (et d'algèbre graduée) serait le bienvenu, surtout si le document s'adresse à des étudiants tout juste sortis de L1.
- Il faudrait à mon gout développer un peu plus le dernier paragraphe, donner quelques motivations et quelques détails.
- Mentionner l'algèbre extérieure peut-être aussi (pour un prochain document peut-être ?)
- Un dernier point, sur le LaTeX : je trouve que le texte n'est pas très lisible sur écran, ne pourrait-on pas renforcer la couleur noire ?

[Seirios]

Bonsoir,

Pour ma part, je ne connaissais pas le produit tensoriel et j'avais simplement entendu parlé de tenseur "à la physicienne". Voici quelques remarques :

- Il faudrait peut-être préciser que est linéaire dans la définition 1.1.1,
- Il est fait rapidement mention de l'ordre d'un tenseur, une petite définition serait bienvenue,
- La proposition 2.1.3 a dû être reformulée plusieurs fois, et deux versions semblent se chevaucher
- Il faudrait peut-être préciser que 2.1.3 donne la définition de l'application transposée et que celle-ci est unique,
- Pour ma part, j'ai plus souvent rencontré le terme dual que transposée donc il serait peut-être préférable de préciser les deux termes,
- Pour parler de , ce n'est pas plus simple de considérer les suites réelles finies indexées par S ?
- J'ai trouvé le passage consernant l'impossibilité de définir un isomorphisme entre un espace vectoriel de dimension finie et son dual assez flou, je ne vois pas vraiment ce que l'on doit comprendre.

Plus quelques coquilles :

- Après la proposition 2.1.5 : "une isomorphisme"
- A la remarque 2.1.7 : et ,
- Dans la démonstration de la proposition 2.3.4 : ,
- A la remarque 2.3.5 : "très".

Très bonne lecture en tous les cas

[invite76543456789]

Salut!
Merci pour vos reponses.

Bonjour,

Je trouve le document très clair, et bien présenté. C'est comme ça que je vois personnellement le produit tensoriel, donc aucune critique de ma part sur ce point.

Quelques remarques :
- Je ne suis pas sur de comprendre pourquoi l'algorithme de Gram-Schmidt fait son apparition ici. (et même l'identification canonique dans le cas des espaces euclidiens, bien que ça constitue une parenthèse logique dans le cadre de ce rappel sur la dualité)
- Un rappel des définitions d'espace vectoriel gradué (et d'algèbre graduée) serait le bienvenu, surtout si le document s'adresse à des étudiants tout juste sortis de L1.
- Il faudrait à mon gout développer un peu plus le dernier paragraphe, donner quelques motivations et quelques détails.
- Mentionner l'algèbre extérieure peut-être aussi (pour un prochain document peut-être ?)
- Un dernier point, sur le LaTeX : je trouve que le texte n'est pas très lisible sur écran, ne pourrait-on pas renforcer la couleur noire ?

-L'algo de Schmidt je l'ai mis parce que c'est le theoreme essentiel sur l'orthogonnalité, et qu'il me paraissait important de parler d'orthogonnalité dans le cadre des tenseurs pour montrer que le choix d'un produit scalaire determine un isomorphisme entre E et son dual (ce qui explique ensuite la mecanique "faire monter et descendre les indices".
-Oui, je le rajouterai, mais bon c'est pas tres essentiel non plus, vu que je ne reparle pas d'algèbre graduée, je dis juste que l'agèbre des tenseurs est graduée (apres vaut il mieux rajouter la definition de gradué ou enlever l'adjectif gradué, je ne sais pas).
-Je vois pas trop quoi rajouter de vraiment pertinent mathématiquement, peut etre des exemples.
-Oui c'est le grand absent. Sans doute je presenterai ca dans un autre doc.
-Pour le latex, je ne sais malheureusement pas quoi faire, chez moi c'est tres visible.

Bonsoir,

Pour ma part, je ne connaissais pas le produit tensoriel et j'avais simplement entendu parlé de tenseur "à la physicienne". Voici quelques remarques :

- Il faudrait peut-être préciser que est linéaire dans la définition 1.1.1,
- Il est fait rapidement mention de l'ordre d'un tenseur, une petite définition serait bienvenue,
- La proposition 2.1.3 a dû être reformulée plusieurs fois, et deux versions semblent se chevaucher
- Il faudrait peut-être préciser que 2.1.3 donne la définition de l'application transposée et que celle-ci est unique,
- Pour ma part, j'ai plus souvent rencontré le terme dual que transposée donc il serait peut-être préférable de préciser les deux termes,
- Pour parler de , ce n'est pas plus simple de considérer les suites réelles finies indexées par S ?
- J'ai trouvé le passage consernant l'impossibilité de définir un isomorphisme entre un espace vectoriel de dimension finie et son dual assez flou, je ne vois pas vraiment ce que l'on doit comprendre.

Plus quelques coquilles :

- Après la proposition 2.1.5 : "une isomorphisme"
- A la remarque 2.1.7 : et ,
- Dans la démonstration de la proposition 2.3.4 : ,
- A la remarque 2.3.5 : "très".

Très bonne lecture en tous les cas

-Tu as raison je le rajouterai.
-Je ne suis pas sur que l'application transposée soit unique, enfin je veux dire vu comment elle est definie elle est unique, mais je ne suis pas sur que ce soit la seul association fonctorielle entre E et son dual (meme si je n'en vois pas d'autre là comme ca).
-Pour R^(S) on pourrait parler de suite mais il y a un abus de langage, une suite est indexée par N (et c'est elle aussi une application de N dans un truc) cela dit effectivement on pourrait rendre la def plus claire en parlant de fonction nulle hors d'un nombre fini de point.
-C'est flou car je n'ai pas voulu rentrer dans des considerations trop poussé sur cela, le point est que l'on peut bien sur definir un isomorphisme entre ces deux espaces (dans le cas fini) mais qu'il n'est pas possible de le rentre fonctoriel.

Merci pour le signalement des coquilles, sauf celle de la 2.3.4, il n'y a pas d'erreur me semble t il (edit: ah! la parenthese! Mais ce sont bien des \otimes et pas des \oplus).

Merci encore a vous deux!

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Bonjour,
Après une première lecture absolument pas mathématique j'ai relevé les points suivants :
Page 1 : "applications bilinéaire" au lieu de "applications bilinéaires"
"en quelques sorte" au lieu de "en quelque sorte"
"appélation" au lieu de "Appellation"
"un application" au lieu de "une application"
Page 2 : "la propositions" au lieu de "la proposition"
"il s'ensuite" au lieu de "il s'ensuit"
Page 4 : "crochet du dualité" au lieu de "crochet de dualité"
"une isomorphisme" au lieu de "un isomorphisme"
page 5 : La phrase "Il est faux ..." est un peu lourde. Par exemple : "Si E est de dimension infinie alors il n'est pas isomorphe à son dual"
"consiste a montrer" au lieu de "consiste à montrer"
"avoir montrer" au lieu de "avoir montré"
"un injection" au lieu de "une injection"
Page 6 : "un cas particulière" au lieu de "un cas particulier"
"tres générales" au lieu de "très générales"
Page 7 : "parait in fine," au lieu de "paraissent, in fine,"
J'espère ne pas avoir suggéré de nouvelles fautes, et vais, enfin, pouvoir lire le texte avec des lunettes de mathématiciens

[PlaneteF]

Bonjour,

Pour compléter la liste de Médiat ci-dessus, je rajouterais :

Page 1 : "(...) quel que soit le chemin suivi" et non pas "quelque" attaché.

[Médiat]

Bonjour,
Quelques questions sur des points que je n'ai pas compris :

Page 2 : vous écrivez " et donc par unicité [...] ", or, de ce que j'ai compris, c'est cette unicité qui permet d'écrire , pas d'en déduire que

Vous en déduisez "s'il existe est donc unique à isomorphisme canonique près", je vois bien qu'il y a là un isomorphisme, mais je ne vois pas en quoi il est canonique.

Page 3 : vous écrivez "Nous avons un isomorphisme donné par ", et je ne vois pas en quoi l'application définie en dessous est trivialement un isomorphisme.

La notation de l'isomorphisme en question n'est pas très claire pour moi, je suppose que représente un homomorphisme de F dans G, qui à fait correspondre , mais il serait, peut-être bon de le rappeler. La notation de l'image de fait aussi penser à un ensemble plutôt qu'à un élément de Hom(E, Hom(F, G))

D'un point de vue plus futile, il me semble que vous gagneriez en lisibilité en remplaçant
par

Désolé de n'être que négatif, mais c'est la règle du genre, il va de soi que je vous suis très reconnaissant d'avoir écrit ce document qui m'apprend beaucoup de choses.

[invite76543456789]

Bonjour,
Merci pour vos remarques.

Page 2 : vous écrivez " et donc par unicité [...] ", or, de ce que j'ai compris, c'est cette unicité qui permet d'écrire , pas d'en déduire que

C'est bien l'unicité qui m'assure que , on a en effet , mais aussi , donc par unicité de l'application linéaire dans la propriété universelle, . L'unicité ne me sert pas pour prouver , en effet on a par la prop universelle et , ce qui donne directement (et qui est a mon avis plus simple a lire sur le diagramme).

Vous en déduisez "s'il existe est donc unique à isomorphisme canonique près", je vois bien qu'il y a là un isomorphisme, mais je ne vois pas en quoi il est canonique.

Il est canonique parce que c'est le seul isomorphisme qui respecte les "thetas" (on et par unicité de la propriété universelle psi est unique), ou plus simplement, il est defini sans faire appel à une base (c'est le sens que je donne a canonique tout au long du document, je ne parle pas de fonctorialité, meme si c'est en fait comme cela que je l'entends).

Page 3 : vous écrivez "Nous avons un isomorphisme donné par ", et je ne vois pas en quoi l'application définie en dessous est trivialement un isomorphisme.

La notation de l'isomorphisme en question n'est pas très claire pour moi, je suppose que représente un homomorphisme de F dans G, qui à fait correspondre , mais il serait, peut-être bon de le rappeler. La notation de l'image de fait aussi penser à un ensemble plutôt qu'à un élément de Hom(E, Hom(F, G))

C'est un isomorphisme parce que j'en exhibe une reciproque.
Vous avez bien compris ce qu'est phi(e,.), je preciserai la notation, et je remplacerai les accolades par des parentheses.

Désolé de n'être que négatif, mais c'est la règle du genre, il va de soi que je vous suis très reconnaissant d'avoir écrit ce document qui m'apprend beaucoup de choses.

Aucun problème, c'est le jeu
Je remettrai le doc corrigé en ligne, des que j'aurai de nouveau accès à la source, là, week end presidentiel oblige, je suis en deplacement!

[invite76543456789]

Bonjour,
Désolé du retard, voila la dernière mise a jour, dans laquelle j'ai essayé de tenir compte de, je l'espere, toutes vos remarques.
Merci encore de vos conseils/remarques/corrections.

[mtheory]

J'espere aussi que ce texte plaira aux physiciens, car il me semble que l'approche "moderne" permet de saisir le concept de tenseur avec beaucoup plus de force et de clarté, et dans un contexte moins "touffu" (ou plus épuré).

Je précise que mes remarques sont bienveillantes .
Impressionnant texte, avec une grande virtuosité algébrique dont j'aimerai bien être doté mais hélas....
Par contre, je suis sûr que 99,9 % des physiciens n'aimeront pas cette approche et n'y comprendront rien. Et elle ne leur sera pas utile pour comprendre concrètement ce qu'est un tenseur, pour penser en terme de tenseur, et comment en faire usage. Le concept leur échappera complétement.

[Médiat]

je suis sûr que 99,9 % des physiciens n'aimeront pas cette approche et n'y comprendront rien.

Bonjour,

Comment présenteriez-vous les choses pour que ce soit profitables aux physiciens ?

[mtheory]

Bonjour,

Comment présenteriez-vous les choses pour que ce soit profitables aux physiciens ?

A la façon d'Hermann Weyl dans son ouvrage sur la relativité, en liaison avec les formes algébriques et la géométrie, les invariants et covariants associés. J'ai malheureusement pas trop le temps de développer tout de suite. La présentation que je vois là me fait penser à celle de Laurent Schwartz. C'est bien adapté à la théorie du calcul intégral (produit de mesure) et certainement pour un mathématicien pur mais pour un physicien voulant comprendre pourquoi et comment, conceptuellement, les tenseurs sont utiles en relativité, il ne trouvera rien.

[Médiat]

J'ai malheureusement pas trop le temps de développer tout de suite.

On compte sur vous, quand vous aurez un peu plus de temps, pour nous rédiger un document complémentaire qui permettra à tout le monde de voir tous les aspects

[PlaneteF]

A la façon d'Hermann Weyl dans son ouvrage sur la relativité, en liaison avec les formes algébriques et la géométrie, les invariants et covariants associés. J'ai malheureusement pas trop le temps de développer tout de suite. La présentation que je vois là me fait penser à celle de Laurent Schwartz. C'est bien adapté à la théorie du calcul intégral (produit de mesure) et certainement pour un mathématicien pur mais pour un physicien voulant comprendre pourquoi et comment, conceptuellement, les tenseurs sont utiles en relativité, il ne trouvera rien.

Peut-être cette approche là ?

http://o.castera.free.fr/pdf/Algebre_tensorielle.pdf

[mtheory]

On compte sur vous, quand vous aurez un peu plus de temps, pour nous rédiger un document complémentaire qui permettra à tout le monde de voir tous les aspects

Je n'aurai pas le temps de faire ça. Je le reconnais humblement. Par contre, là j'aurai peut-être le temps de donner plus de détail aujourd'hui.

[mtheory]

Peut-être cette approche là ?

http://o.castera.free.fr/pdf/Algebre_tensorielle.pdf

Déjà là c'est mieux pour un physicien oui. On dirait que c'est inspiré par le fameux livre de Lichné

[Médiat]

Peut-être cette approche là ?

http://o.castera.free.fr/pdf/Algebre_tensorielle.pdf

Evidemment, je réagis en mathématicien, mais la première page ne me plait pas du tout :

On y donne une définition sans montrer l'existence de l'objet défini (ou même signaler que cela devrait être (sera) fait).
Il y a deux suppression d'article dans la définition 1.1 qui sont bien pratiques si l'auteur avait écrit "est appelée la multiplication tensorielle" on lui aurait demandé en quoi la définition précédente garantissait l'unicité ; et si l'auteur avait écrit "est appelée une multiplication tensorielle" on lui aurait demandé quoi faire pour avoir la définition d'un objet.
Bref, deux difficultés occultées, cela ne me donne pas envie de lire la suite (mais bon, je ne suis qu'un pauvre mathématicien).

[mtheory]

(mais bon, je ne suis qu'un pauvre mathématicien).

Je ne critiquais personne ici pas de hiérarchie entre le mathématicien et le physicien. J'indiquais juste que certaines approches sont plus utiles et appropriés à l'un qu'à l'autre.

[PlaneteF]

Evidemment, je réagis en mathématicien, mais la première page ne me plait pas du tout :

On y donne une définition sans montrer l'existence de l'objet défini (ou même signaler que cela devrait être (sera) fait).
Il y a deux suppression d'article dans la définition 1.1 qui sont bien pratiques si l'auteur avait écrit "est appelée la multiplication tensorielle" on lui aurait demander en quoi la définition précédente garantissait l'unicité ; et si l'auteur avait écrit "est appelée une multiplication tensorielle" on lui aurait demander quoi faire pour avoir la définition d'un objet.
Bref, deux difficultés occultés, cela ne me donne pas envie de lire la suite (mais bon, je ne suis qu'un pauvre mathématicien).

Remarque, l'auteur prévient le lecteur d'entrée de jeu sur son approche en précisant bien : "(...) nous définirons les tenseurs et les espaces tensoriels uniquement à partir de leurs propriétés opératoires." ...

[Médiat]

Je ne critiquais personne ici pas de hiérarchie entre le mathématicien et le physicien. J'indiquais juste que certaines approches sont plus utiles et appropriés à l'un qu'à l'autre.

En quoi, au moins, dire que montrer à la fois l'existence et l'unicité d'un objet est nécessaire lors de sa définition, quitte à ne pas faire les démonstration (en signalant une bonne référence), empécherait les physiciens de comprendre ? Est-ce mieux de glisser la poussière sous le tapis ?

[Médiat]

Remarque, l'auteur prévient le lecteur d'entrée de jeu sur son approche en précisant bien : "(...) nous définirons les tenseurs et les espaces tensoriels uniquement à partir de leurs propriétés opératoires." ...

J'ai bien lu, mais cela ne retire rien à mes remarques.

[invite76543456789]

Peut-être cette approche là ?

http://o.castera.free.fr/pdf/Algebre_tensorielle.pdf

De mon point de vue c'est typiquement un tres mauvaise approche.
Je vais essayer d'expliquer pourquoi (mes raisons sont assez differentes de celle de Médiat).

1/ C'est une approche tres orientée "calcul". Clairement ce cours a vocation d'apprendre à faire des calculs avec des tenseurs, et d'etre capable de faire de manière effective les differents calculs classiques de l'algèbre tensorielle (contraction, "monter et descendre les indices" etc...). Or ces calculs sont secondaires, et viennent naturellement une fois que l'on a compris ce qui est derrière. Pire il est possible d'etre tout à fait virtuose dans ce genre de calcul, sans avoir rien du tout compris a ce qu'il y a derriere. Pour moi c'est la meme difference (pour faire une analogie) entre un cours sur les polynomes qui presenterait la resolution pratique des equations cubiques, et un qui demontrerait le theoreme de d'Alembert.

2/ Une objection que je trouve plus serieuse. C'est que le calcul tensoriel presenté sur ce pdf est deja tres orienté géométrie differentielle (on parle de coordonnées curvilignes, de coordonnées covariantes etc... des choses qui n'ont rien à voir avec l'algèbre tensorielle proprement dite). Le probleme c'est que l'algèbre tensorielle s'utilise veritablement partout (comme la somme directe par exemple). Je pense qu'un cours d'algèbre tensorielle doit, a minima, pouvoir ensuite permettre de comprendre aussi des choses telles que "quand on a deux representations d'un groupe, on peut un fabriquer une troisieme leur produit tensoriel", "quand on a deux distributions, on peut en prendre le produit tensoriel", "quand on étend les scalaires d'un espace vectoriel de R a C, on regarde en fait le prduit tensoriel de cet espace avec C", tout autant que le calcul tensoriel sur les variétés.

[mtheory]

En quoi, au moins, dire que montrer à la fois l'existence et l'unicité d'un objet est nécessaire lors de sa définition, quitte à ne pas faire les démonstration (en signalant une bonne référence), empécherait les physiciens de comprendre ? Est-ce mieux de glisser la poussière sous le tapis ?

Je ne parlais pas de ça, c'est ta remarque "mais bon, je ne suis qu'un pauvre mathématicien" qui pouvait laisser entendre que tu ironisais sur le fait que je pourrais avoir fait une hiérarchie en disant que ce que font les physiciens, c'est mieux que ce que font les mathématiciens, ce que je ne disais pas. En fait, je voulais désamorcer d'éventuelles tensions du fait que j'ai cité l'article d'Arnold qui n'est pas tendre avec les mathématiciens français.

[mtheory]

De mon point de vue c'est typiquement un tres mauvaise approche.
Je vais essayer d'expliquer pourquoi (mes raisons sont assez differentes de celle de Médiat).

1/ C'est une approche tres orientée "calcul". Clairement ce cours a vocation d'apprendre à faire des calculs avec des tenseurs, et d'etre capable de faire de manière effective les differents calculs classiques de l'algèbre tensorielle (contraction, "monter et descendre les indices" etc...). Or ces calculs sont secondaires, et viennent naturellement une fois que l'on a compris ce qui est derrière. Pire il est possible d'etre tout à fait virtuose dans ce genre de calcul, sans avoir rien du tout compris a ce qu'il y a derriere. Pour moi c'est la meme difference (pour faire une analogie) entre un cours sur les polynomes qui presenterait la resolution pratique des equations cubiques, et un qui demontrerait le theoreme de d'Alembert.

2/ Une objection que je trouve plus serieuse. C'est que le calcul tensoriel presenté sur ce pdf est deja tres orienté géométrie differentielle (on parle de coordonnées curvilignes, de coordonnées covariantes etc... des choses qui n'ont rien à voir avec l'algèbre tensorielle proprement dite). Le probleme c'est que l'algèbre tensorielle s'utilise veritablement partout (comme la somme directe par exemple). Je pense qu'un cours d'algèbre tensorielle doit, a minima, pouvoir ensuite permettre de comprendre aussi des choses telles que "quand on a deux representations d'un groupe, on peut un fabriquer une troisieme leur produit tensoriel", "quand on a deux distributions, on peut en prendre le produit tensoriel", "quand on étend les scalaires d'un espace vectoriel de R a C, on regarde en fait le prduit tensoriel de cet espace avec C", tout autant que le calcul tensoriel sur les variétés.

tout à fait d'accord avec ça....Ce que je veux dire c'est que selon les approches, il y a un contenu qui est plus ou moins occulté par nécessité même du domaine et ce qu'on veut en faire. Avoir une vision complète et appropriée à chaque fois n'est pas facile.

[Médiat]

qui pouvait laisser entendre que tu ironisais sur le fait que je pourrais avoir fait une hiérarchie en disant que ce que font les physiciens, c'est mieux que ce que font les mathématiciens, ce que je ne disais pas.

Au contraire je voulais indiquer que je comprenais très bien qu'il y ait deux façons d'appréhender les choses, qu'une vision utilitariste peut se comprendre (même si elle a le défaut de ne permettre que rarement de comprendre le concept) mais que je ne peux pas m'empécher de réagir en pauvre mathématicien attaché à ses valeurs (je n'est pas écrit lubies ).

Quant à l'article d'Arnold, je préfère oublier son existence !

[invite6754323456711]

En quoi, au moins, dire que montrer à la fois l'existence et l'unicité d'un objet est nécessaire lors de sa définition, quitte à ne pas faire les démonstration (en signalant une bonne référence), empécherait les physiciens de comprendre ?

Il me semble que la différence des modes de pensée est lié au fait que pour le physicien les données empiriques lui sont données par les mesures il ne peut les définir (les données) et existent par la mesure et non par la formalisation de son existante. Il cherche via les structures mathématiques un langage applicatif lui permettant d'interpréter formellement ces données physiques. Concernant l'effort intellectuel sur le formalisme définissant de manière univoque l'existence et l'unicité d'un objet mathématique il fait confiance, me semble t-il, aux mathématiciens.

Je joue le candide en oubliant les quelques connaissances que j'ai sur l’algèbre tensorielle : A la lecture de la définition 1.1.1 on ne sait toujours pas bien ce qu'est un produit tensoriel. On sait juste que pour qu'un produit tensoriel puisse exister il faut vérifier telle propriété.
C'est tout application bilinéaire f : E×F→S vérifiant ... ?


Patrick

[PlaneteF]

Amusant ce qui dit cet auteur pour justifier son approche "par la propriété" en prenant l'analogie des nombres réels (1^ère page) :

"(...) and after all what is a real number? Do we always think of it as an equivalence class of Cauchy sequences of rationals?"

http://people.maths.ox.ac.uk/hitchin.../Chapter_2.pdf

[Médiat]

Concernant l'effort intellectuel sur le formalisme définissant de manière univoque l'existence et l'unicité d'un objet mathématique il fait confiance, me semble t-il, aux mathématiciens.

Cet aspect ne me dérange pas, comme je l'ai écrit dans le passage que vous citez, il ne me semble pas nécessaire de faire toutes les démonstrations, mais il me semble nécessaire de ne pas glisser la poussière sous le tapis et dire qu'il y a quelque chose à faire, mais "qu'on peut faire confiance aux mathématiciens" pour le faire aurait été suffisant ; je pense aussi, en disant cela, aux physiciens juste un peu curieux qui se poseraient des questions légitimes et qui pourrait être découragé en les voyant même pas évoquées.

[Médiat]

"(...) and after all what is a real number? Do we always think of it as an equivalence class of Cauchy sequences of rationals?"

Personnellement je préfère penser aux nombres réels comme des classes d'équivalence de quasi-endomorphismes de .

Ou encore comme l'ensemble de certaines suites formelles, munies des bonnes opérations (même pas besoin de quotienter).

[invite76543456789]

Amusant ce qui dit cet auteur pour justifier son approche "par la propriété" en prenant l'analogie des nombres réels (1^ère page) :

"(...) and after all what is a real number? Do we always think of it as an equivalence class of Cauchy sequences of rationals?"

http://people.maths.ox.ac.uk/hitchin.../Chapter_2.pdf

C'est en fait extremement courrant et à la base de la notion de propriété universelle! Et c'est en general comme cela que l'on definit quelque chose (et ensuite on prouve que le truc existe, l'unicité elle est tres generale et provient du lemme de Yoneda).

Par exemple la somme directe de E et de F c'est un espace T (muni de fleches de E et F) qui verifie pour tout espace S, le produit de E et F, c'est un espace T (muni de fleche vers E et F) qui verifie pour tout S , le noyau de f:E->F, c'est un espace K (muni d'une fleche vers E), tel que tout tout S on ait etc etc...


Et on peut tout démontrer a partir de là, et de plus ca permet de definir l'analogue de somme directe (produit cartesien, noyau) dans des contextes completement different (groupes, modules, faisceau etc...) en ayant directement la bonne définition, et les memes propriétés.

Je joue le candide en oubliant les quelques connaissances que j'ai sur l’algèbre tensorielle : A la lecture de la définition 1.1.1 on ne sait toujours pas bien ce qu'est un produit tensoriel. On sait juste que pour qu'un produit tensoriel puisse exister il faut vérifier telle propriété.
C'est tout application bilinéaire f : E×F→S vérifiant ... ?


Patrick

Le produit tensoriel c'est la donnée à la fois de l'espace T et de l'application bilinéaire theta, telle que ce qui est ecrit dans 1.1.1. Il est ensuite prouvé qu'un tel T et theta existe toujours et est toujours unique.