Dérivation des champs tensoriels

[Burakumin]

Bonjour, bonjour

Jusqu'à quelque temps novices dans le calcul tensoriel, j'essaie de me familiariser avec les concepts.


J'ai fouillé pas mal d'endroits sur le net mais beaucoup de choses restent floues. Cela parce que force est de constater que les choix de modélisation varient ENORMEMENT d'un auteur à un autre. Certains considèrent les champs sur des espaces vectoriels, d'autres plus généralement sur des variétés. Certains ne voient dans les tenseurs que la donne de tableaux de scalaires (ce qui m'horripile ) d'autres comme des applications multilinéaires (ce que je préfère de trés loin). Certains se foutent complétement des distinctions covariance / contravariance, d'autres pas. Et enfin on trouve allégrement l'assimilation des notions de tenseurs et de champs de tenseurs quand les auteurs n'ont pas envie de prendre le temps de les différencier, soit disant parce que ça va de soi.

Je suis bien conscient que ceci doit être dû au fait que la notion a (me semble-t-il) d'abord était développée en physique. Celà dit, j'ai toujours trouvé que sous prétexte de simplifier les choses ces assimilations les compliquent beaucoup.



Bref, tout ça pour en venir à mes questions. J'ose affirmer que dans le cas d'une application , avec et deux -espaces vectoriels de dimensions finies, la différentielle de lorsqu'elle existe (on supposera que est sympa et suffisament bien gaulée) est une application . La dérivée directionnelle selon le vecteur notée peut alors se définir comme (avec le produit contracté). Tout ça se généralisant sans trop de problème pour des tenseurs plus généraux. Ma première question est simple : êtes vous d'accord avec cette façon de voir les choses ? (modélisation que je n'ai pourtant pas vraiment trouvée explicitement sur le net)

Seconde question : si je me place dans le cas de variétés, puis-je reproduire un schéma similaire ? J'entends par là que sur la variété , pour une application vectorielle on pourrait définir une différentielle générale . Bien sûr, n'étant pas un ev, il conviendrait de définir le produit tensoriel et le dual pour un fibré vectoriel (je ne sais pas si c'est usuel mais ça se fait facilement, les résultats étant encore des fibrés vectoriels me semble-t-il). L'expression de serait alors définie comme :

est l'élément de vérifiant pour tout champs de vecteur U,

En faite tous les concepts de dérivation pour des variétés que j'ai trouvé se limitent aux notions de dérivée covariante () ou de dérivée de Lie (si je ne m'abuse c'est la même chose mais pour des utilisations différentes). Le problème c'est qu'ils ne permettent pas une définition intrinsèque de la dérivée puisqu'on dérive alors par rapport à un champs de vecteur. Il me parait plutôt évident que ces notions pourraient se voir comme des "dérivées directionnelles" (cf l'équation plus haut). J'ai un ami qui m'a dit qu'a priori on ne définissait pas de différentielles "générales" dans la théorie des variétés. Est-ce le cas ?



Wala. Je tiens à préciser que je ne connais que les bases de la théorie des variétés. C'est justement en essayant de creuser que j'en suis venu à me poser ces questions et à aborder le calcul tensoriel plus en détail.

Merci
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[invited749d0b6]

Bonjour,

Il me semble que pour la derivation covariante, il faut une metrique sur la variete, mais que la derivation ne depend pas d'un champ de vecteur U, c'est a dire que si est un tenseur, est aussi un tenseur.

[invited749d0b6]

Si on considère la variété et deux cartes de , et . Un champ de vecteur constant pour sera de différentielle nulle, dans la carte , mais il ne sera pas constant dans donc de différentielle non nulle. Donc la différentielle d'un champ de vecteur n'est pas un tenseur (car un tenseur nul ne peut donner un tenseur non nul par changement de base).

[Burakumin]

Un champ de vecteur constant pour sera de différentielle nulle, dans la carte , mais il ne sera pas constant dans

Alors là, désolé mais je ne comprends pas ce que vous voulez dire. Si j'ai un champs constant sur (la variété), je ne vois pas en quoi considérer ou telle ou telle carte change quoi que ce soit. Soit , alors et sont toutes les deux constantes. Mais peut être parlons nous de deux choses différentes.

Il n'en reste pas moins que la notion que j'essaie de définir est indépendant de la carte choisie, il s'agit d'une dérivée propre à la variété. Si vous pensez qu'un tel objet ne peut être défini, je voudrais savoir pourquoi.

Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited749d0b6]

Un vecteur se transforme différemment d'un scalaire. Si et sont deux cartes de la variété , les cartes du plan tangent en un point de la variété se transforme selon (de à ).
Si tes cartes représentent une region de la Terre avec des vecteurs tracés au sol, si tu zoomes, les vecteurs s'allongeront en même temps.

[invited749d0b6]

A mon avis, la dérivation covariante convient mais il faut une métrique.

[Burakumin]

Un vecteur se transforme différemment d'un scalaire. Si et sont deux cartes de la variété , les cartes du plan tangent en un point de la variété se transforme selon (de à ).

Je ne connais que trois façon de définir les espaces tangents :
- par dualité du cotangent, lui même défini par les germes de fonctions
- par les classes d'équivalence sur les courbes
- par les opérateur de dérivation

Seul la deuxième requiert me semble-t-il l'utilisation d'un carte et ce choix n'importe pas, un vecteur défini ainsi est indépendant du choix de la carte. Non il ne se transforme pas. Ses coordonnée relativement à l'euclidein de départ change si vous préférez mais l'objet mathématique est invariant. Et un vecteur ne se réduit CERTAINEMENT pas à la donne de coordonnées.

Si tes cartes représentent une region de la Terre avec des vecteurs tracés au sol, si tu zoomes, les vecteurs s'allongeront en même temps.

C'est pour ca qu'une carte n'est qu'une carte. On peut bien faire autant de carte de France que l'on souhaite et de toutes les tailles, le vecteur de Paris à Marseille reste le même.

Soit je ne suis pas du tout d'accord avec vous, soit je ne vois pas du tout où vous voulez en venir. Je vous suis reconnaissant d'avoir répondu (même si pas directement à mes questions) mais j'y verrais peut être plus clair si vous développiez vos propros.

[invited749d0b6]

Hum, je n'ai pas peut-etre pas compris la question.
Mon exemple prouve juste que la différentielle ordinaire d'un tenseur n'est pas un tenseur.

[invited749d0b6]

On peut définir le fibré tangent d'une variété de dimension , dont les cartes sont comme étant la variété obtenue par recollement des ouverts par les changements de cartes qui à associe .

[Burakumin]

Hum, je n'ai pas peut-etre pas compris la question.

Plutôt difficile d'y répondre dans ce cas.

On peut définir le fibré tangent d'une variété de dimension , dont les cartes sont comme étant la variété obtenue par recollement des ouverts par les changements de cartes qui à associe .

On peut aussi le définir comme l'union disjointe de tous les espaces tangents, eux-même définis par une des définitions auxquelles j'ai fait allusions. Je préfère cette définition-là bien que je veuille bien croire que la vôtre soit possible. Cela dit je pense qu'il est toujours préférable de faire abstraction de l'euclidien de départ et des cartes qui lient la variété à lui (sauf lorsque c'est impossible ou que les cartes simplifient les choses mais je ne trouve pas qu'ici ce soit le cas).



Je commence néanmoins à ne plus savoir comment réagir devant vos propos. Ce sont toujours des affirmations laconiques et dont surtout vous n'expliquez pas à quoi elles sont sensées répondre. Où est le lien avec mes questions de départ ? Ca vous semble peut être évident mais comme je l'ai dit dans mon premier poste je n'ai pas une pratique trés vieille des variétés. A l'origine c'est moi qui ai posé des questions, et je me retrouve à essayer de décortiquer et d'expliciter vos propos avec l'impression que le sujet n'est jamais là où je voulais en venir.




Si je n'ai pas été clair je vais tenter de reformuler. Oublions les variétés pour le moment. Vous avez dit à un moment que d'aprés vous dériver des tenseurs ne donne pas de tenseurs. Plaçons nous dans le simple cas de -ev. de dimension finis. Si est différentiable sur , j'affirme que peut être vu comme une application qui a tout élément de associe un élément de , c'est à dire un tenseur d'ordre 2. De fait le processus de dérivation peut être répéter autant de fois que l'on veut (en supposant que est lisse) : .


D'accord ou pas d'accord ? Sinon pourquoi ?

[invited749d0b6]

Je ne suis pas laconique, seulement je ne réfléchis pas instantanément, donc je m'y prends à plusieurs fois.
Il n'y a pas à "réagir" à mes propos: ce sont des propositions mathématiques (peut-être fausses d'ailleurs).
Je comprends qu'on aime résoudre des problèmes mathématiques, mais ça ne fait pas des mathématiques une discipline, où l'on doit vouloir à tout prix tout savoir mieux que les autres.
J'essayais de donner des éléments de réponses à ta question: tu t'exaspères.
Maintenant, je m'arrête là, mais j'estime ma réaction justifiée.

[Burakumin]

Je ne suis pas laconique, seulement je ne réfléchis pas instantanément, donc je m'y prends à plusieurs fois.
Il n'y a pas à "réagir" à mes propos: ce sont des propositions mathématiques (peut-être fausses d'ailleurs).
Je comprends qu'on aime résoudre des problèmes mathématiques, mais ça ne fait pas des mathématiques une discipline, où l'on doit vouloir à tout prix tout savoir mieux que les autres.
J'essayais de donner des éléments de réponses à ta question: tu t'exaspères.
Maintenant, je m'arrête là, mais j'estime ma réaction justifiée.

Je m'excuse si mes remarques t'ont semblé agressives (je me permets de te tutoyer puisque tu le fais). Et je ne prétend certainement pas en savoir plus que toi ni que quiconques dans le domaine ici présent.

Simplement j'ai l'impression que quand je demande "Combien le capitaine a-t-il d'enfants ?" tu me réponds "le capitaine a 53 ans." Peut être bien que considérer l'âge du capitaine est une bonne démarche pour savoir combien il a d'enfants, mais a priori le lien pour moi n'a alors rien d'évident.

Je ne prétends pas que ce que tu dis est faux (bien que certaines affirmation me surprennent). Je dis que je ne saisis pas comment utiliser tes éléments de réponse pour voir comment répondre à ma question, c'est pourquoi je t'invitais à développer.

Celà dit comme tu sembles décidé à ne plus répondre, j'ai bien peur que j'en reste là, à moins que quelqu'un d'autre ne s'intéresse au sujet.

Voila. En attendant, si mes futurs reflexions m'amènent à de nouvelles considérations (vis-à-vis de mes questions personnel ou des remarques de G13), j'essaierai d'exposer de manière plus aboutie ce que je cherche à définir et pourquoi ça (ne) marche (pas).