[Topologie] Carte, Atlas

[Lévesque]

Dans la définition de ce qu'est un atlas, on dit qu'un homéomorphisme h "is a chart of M".

Je cherche le mot français pour chart... Est-ce un système de coordonnées locales? une carte?

Je ne suis pas certain, parce que dans mon livre, on dit que "h is a chart of M and U is called the domain of the chart or local coordinate neighborhood",
tandis que dans mes notes de cours, il est écrit que le couple (h,U) est une carte de M, ce qu'on appelle souvent un système de coordonnées locales...

J'aurais besoin de distinctions entre h et le couple (h,U). Aussi, j'aimerais savoir si c'est h le système de coordonnées locales, ou bien (h,U).

Merci beaucoup!

Simon
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[martini_bird]

Salut,

je dirais que la notation (h, U) est redondante, car pour se donner une fonction (ici h), il faut aussi se donner son domaine de définition...

Cordialement.

[Lévesque]

Salut,

je dirais que la notation (h, U) est redondante, car pour se donner une fonction (ici h), il faut aussi se donner son domaine de définition...

Cordialement.

Donc, le mot francais pour chart serait carte, et h ou (h,U) voudrait dire en gros la même chose, ce qu'on peut appeler un système de coordonnées locales?

Merci mb,

Simon

[martini_bird]

Oui j'ai oublié : chart=carte.

http://mathworld.wolfram.com/CoordinateChart.html

[A voir en vidéo sur Futura]

[Lévesque]

Merci,

une autre petite. Dans mes notes, on définit un atlas comme:

Un ensemble de cartes est un atlas si , M étant une variété.

Comme je ne voyais pas ce que voulais dire I, je regarde sur mathworld et je trouve que c'est une autre notation pour désigner .

Et là, je suis tout mélangé. n'est qu'un étiquette pour identifié un domaine à une carte (en fait pour distinguer les différentes cartes). Pourquoi couvrirait-il les entiers négatifs? Pourquoi n'a t-on pas écrit ?

Merci encore...

Simon

[invite6de5f0ac]

Bonjour,

Probablement parce que I désigne tout simplement un ensemble d'indices, et qu'on se contrefiche de ce qu'il est réellement. A la rigueur, on peut peut-être exiger qu'il soit au plus dénombrable, et encore, je ne suis pas sûr...

-- françois

[martini_bird]

Salut,

oui I peut être quelconque pourvu que les cartes forment bien un atlas (au sens intuitif) : pour tout point, il existe une carte qui en contienne un voisinage.

Par exemple la famille des est un atlas de R. Il n'est pas dénombrable mais on voit bien que l'on a pas besoin d'un atlas aussi gros !

Cordialement.

[Lévesque]

Donc, le mot francais pour chart serait carte, et h ou (h,U) voudrait dire en gros la même chose, ce qu'on peut appeler un système de coordonnées locales?

J'ai demandé à Mme Durrer, rapidement, devant la machine à café. Elle m'a répondu que selon elle la bonne définition de la carte était celle en couple (h,U), elle m'a référé au Kobayashi - Nomizu. Elle disait être surprise que Straumann appelle "chart" le h seulement.

Sinon, merci beaucoup pour votre aide. Ça se clarifie tranquilement.

Salutations,

Simon

[GrisBleu]

salut

Ruth Durrer ?

[Lévesque]

oui... je suis son cours de RG présentement. Pourquoi?

[invite986312212]

U n'est pas très important. On peut toujours prendre un autre ouvert V et un difféomorphisme de U dans V. D'ailleurs si je me souviens bien dans le Lehman & Sacré, qui ne traite que de la dimension 2, U est toujours le disque unité (ou demi-disque sur le bord de la surface)

[Lévesque]

U n'est pas très important. On peut toujours prendre un autre ouvert V et un difféomorphisme de U dans V. D'ailleurs si je me souviens bien dans le Lehman & Sacré, qui ne traite que de la dimension 2, U est toujours le disque unité (ou demi-disque sur le bord de la surface)

Attends... Tu parles de changement de carte quand tu dis "On peut toujours prendre un autre ouvert V et un difféomorphisme de U dans V"?
Parce que ma question porte sur la définition de ce qu'est une carte. Et une carte avec un domaine U n'est surement pas la même carte que celle avec un domaine V? (et donc il faut spécifier U pour spécifier la carte, et une carte avec un domaine V qui n'est pas égal à U est une carte différente...)


De plus, je crois bien qu'un carte n'a pas besoin d'être définie comme un disque, ou ayant quelque forme que ce soit. C'est trop restrictif, il me semble que dans la définition de la carte, on doit pouvoir accepter tous les domaines ouverts?

Cordialement,

Simon

[GrisBleu]

oui... je suis son cours de RG présentement. Pourquoi?

Salut

Juste que j'ai lu son poly, c'est rigolo de voir le monde si petit. Le poly, je l'ai trouve un peu abstrait, mais avec des explications orales, ca doit mieux passer.
Par contre, je me suis apercu que j'etais plein de prejuges, en effet, ayant lu et bloque sur le ton peu "physique" du debut du poly, je me suis dit que ca devait etre un vieux prof grisatre, mais d'apres la photo de son site ce n'est pas le cas . Que personne ne prenne mal mes propos, c'est juste un prejuge debile.

Sinon, le triplet me semble etre necessaire pour rester precis (meme si le point lui meme peut etre non mentionner sans trop de pb). Par exemple, quand on prend une partition de l'unite pour ensuite definir l'integrale des formes, il me semble que l'ouvert et le diffeomorphisme sont necessaires. Ainsi si tu dis "j'integre la forme localement" ca veut dire que tu integres le pull back par de la forme sur l'ouvert .

++ et bon courage

[Lévesque]

Le poly, je l'ai trouve un peu abstrait, mais avec des explications orales, ca doit mieux passer.

C'est quand même abstrait, et elle l'avoue. Au début du cours, elle a dit que cette section très mathématique n'était pas absolument nécessaire, mais que pour les physiciens se dirigeant en recherche sur le sujet, il était essentiel d'avoir au moins une petite idée du "vrai" (ce sont mes mots) formalisme mathématique sous-jacent. Comme elle le dit, Einstein ne savait absolument rien de tous ces finesses mathématiques ce qui ne l'a pas empêché de formuler la théorie.
Elle a précisé qu'il n'y aurait pas de question à l'examen sur ce chapitre, et qu'elle ne nous demandais pas de tout comprendre, mais seulement de profiter de cette première approche pour garder en tête ces finesses pour peut-être les étudier et les réutiliser plus tard.

Je pense que c'est dans cet esprit qu'il faut aborder son cours!

Salutations,

Simon

[invite986312212]

Comme elle le dit, Einstein ne savait absolument rien de tous ces finesses mathématiques ce qui ne l'a pas empêché de formuler la théorie.

A propos, j'ai lu le fameux article d'Einstein sur le mouvement brownien. C'est effarant comme c'est imprécis mathématiquement parlant, et en même temps impressionnant de culot et d'astuce. Cela dit, on ne peut pas lui reprocher de ne pas maîtriser les notions de probas à l'époque, c'était bien avant Kolmogorov.

[invite6de5f0ac]

Attends... Tu parles de changement de carte quand tu dis "On peut toujours prendre un autre ouvert V et un difféomorphisme de U dans V"?
Parce que ma question porte sur la définition de ce qu'est une carte. Et une carte avec un domaine U n'est surement pas la même carte que celle avec un domaine V? (et donc il faut spécifier U pour spécifier la carte, et une carte avec un domaine V qui n'est pas égal à U est une carte différente...)


De plus, je crois bien qu'un carte n'a pas besoin d'être définie comme un disque, ou ayant quelque forme que ce soit. C'est trop restrictif, il me semble que dans la définition de la carte, on doit pouvoir accepter tous les domaines ouverts?

Cordialement,

Simon

Bonjour,

Pour paraître pédantesque, je crois me souvenir qu'une variété est formellement définie au moyen de classes d'équivalence pour je ne sais plus quelle relation définie sur les cartes, ou les atlas, ou les deux...
Tout ça pour "Bourbakiser" sur quelque chose de finalement très intuitif. C'est comme pour le coup de l'ensemble I d'indices pour les cartes d'un atlas: tout ensemble J distinct de (mais équipotent à) I convient manifestement, et pourtant ce n'est pas à rigoureusement parler la même famille de cartes, donc pas le même atlas.
Si on va par là... bon amusement!

-- françois

[Lévesque]

Bonjour,

Pour paraître pédantesque, je crois me souvenir qu'une variété est formellement définie au moyen de classes d'équivalence pour je ne sais plus quelle relation définie sur les cartes, ou les atlas, ou les deux...

mmm... dans mes notes, le premier concept introduit est une variété. De la variété, on en vient aux cartes et atlas, et ensuite, on introduit la notion d'équivalence.

Je crois (sous toute réserve) que ce dont tu parles est plutôt le raisonnement du physicien, qui définie l'espace en terme d'une invariance sous un groupe? Tandis qu'en math, on énumère les concepts topologiques relatifs à notre "espace", puis on en déduit la relation d'équivalence?

Merci pour d'autres précision à ce sujet, ça m'intéresse.

Cordialement,

Simon

[invite6de5f0ac]

mmm... dans mes notes, le premier concept introduit est une variété. De la variété, on en vient aux cartes et atlas, et ensuite, on introduit la notion d'équivalence.

Je crois (sous toute réserve) que ce dont tu parles est plutôt le raisonnement du physicien, qui définie l'espace en terme d'une invariance sous un groupe? Tandis qu'en math, on énumère les concepts topologiques relatifs à notre "espace", puis on en déduit la relation d'équivalence?

Merci pour d'autres précision à ce sujet, ça m'intéresse.

Cordialement,

Simon

Disons que je mélange un peu les deux points de vue -- pas dans mes idées, dans l'utilisation que j'en fais!

Le premier poly qui me tombe sous la main dit:

Une variété (topologique) de dimension n est un espace topologique V dont chaque point possède un voisinage homéomorphe à un ouvert de Rⁿ.

Si a est un point de V, V_a un voisinage ouvert de a homéomorphe à un ouvert U_a de Rⁿ, f_a:V_a->U_a l'homéomorphisme correspondant, on dit que (V_a,f_a) est une carte locale de V en a. On dit couramment "la carte f_a" au lieu de (V_a,f_a).

C'est ce que tu voulais (entendre ) dire?

-- françois

[Lévesque]

Oui, mais bon, je suis quand même intéressé à comprendre le lien entre la définition partant des symétries (ou des transformations?) et la définition partant des variétés.

J'ai cru comprendre que le pont entre les deux était l'espace tangent. Entre autre, on a montré que l'espace tangent (auquel sont associé les vecteurs (ou le champ de vecteurs?) contravariants) trouvé en partant des variétés est équivalent à celui des physiciens.

Il faudrait que je clarifie comment est défini l'espace tangent des physiciens (supposons que c'est chose faite).

Alors donc, je souhaite comparer le point de vue (que j'appelle mathématique) qui part de la variété pour définir l'espace tangent, à un autre (que j'appelle physique).

- Si je comprends bien, du point de vue physique, les définition de départ du point de vue mathématique sont des propriétés "déduites" de l'espace tangent?

- Et du point de vue mathématique, les points de départs du point de vue physique sont des propriétés "déduites" de celle des variétés?

Merci pour l'aide à la clarification de ma démarche, dont l'aboutissement est encore très voilé.

Cordialement,

Simon

[Lévesque]

Je poursuis ma démarche difficile...

Dans mon livre de QFT, on peut lire:

Ainsi, un groupe de Lie est à la fois un groupe et une variété différentielle.

Premièrement, comment un groupe de Lie peut-il être une variété différentielle? Ou plutôt, réciproquement, une variété différentielle n'est surement pas un groupe?
(puisque un groupe de Lie me semble plutôt être une variété différentielle munie d'une opération de multiplication...)

Sinon, dans mon message précédent, j'ai émit l'hypothèse que le pont entre les deux points de vues était l'espace tangent. Selon ce que je viens de rajouter, ne serait-ce pas plutôt la variété différentielle qui permet de passer d'un point de vue à l'autre?

Salutations,

Simon

[mtheory]

Je poursuis ma démarche difficile...

Dans mon livre de QFT, on peut lire:

Ainsi, un groupe de Lie est à la fois un groupe et une variété différentielle.

Premièrement, comment un groupe de Lie peut-il être une variété différentielle? Ou plutôt, réciproquement, une variété différentielle n'est surement pas un groupe?
(puisque un groupe de Lie me semble plutôt être une variété différentielle munie d'une opération de multiplication...)

Ton groupe de Lie fait intervenir des conditions de continuités et d'analycités.
Ce que les gens ont vu, Cartan je crois,c'est que des théorèmes portant sur les groupes de Lie étaient facilement interprétables et démontrables en remarquant qu'en fait c'était à cause de la structure de variété topologique possédé par le groupe.
Du coup tu sais qu'en fait plein de relations bizarres et difficilement démontrables sont traduisibles en termes de géométrie/topologie sur la variété que forme le groupe.
C'est le point de vue du mathématicien qui veut tout speeder/dominer (pour le mathématicien)en reformulant tout en terme de structures abstraites sur des ensembles.
Pour le physicien c'est à g....et c'est le meilleur moyen de compliquer des choses au fond assez intuitives et pas trés compliquées.
Ainsi les angles d'Euler pour la description du mouvement d'une toupie forment une variété qui doit être en relation avec le groupe de rotation ou un truc du genre.
La composition de différents mouvement de rotations doit décrire une courbe dans le groupe de rotation,et des trucs sur la topologie du groupe,de ces trajectoires etc...te donnent illico des propriétés des transformations de rotations ou du mouvement de la toupie.
J'ai cru comprendre un truc du genre.
Fait gaffe à mes remarques,c'est heuristique et ça doit contenir des choses fausses.Mais je pense que ça doit t'indiquer qq directions pas trop fausses elles.

[invite6de5f0ac]

Je poursuis ma démarche difficile...

Dans mon livre de QFT, on peut lire:

Ainsi, un groupe de Lie est à la fois un groupe et une variété différentielle.

Premièrement, comment un groupe de Lie peut-il être une variété différentielle? Ou plutôt, réciproquement, une variété différentielle n'est surement pas un groupe?
(puisque un groupe de Lie me semble plutôt être une variété différentielle munie d'une opération de multiplication...)

Sinon, dans mon message précédent, j'ai émit l'hypothèse que le pont entre les deux points de vues était l'espace tangent. Selon ce que je viens de rajouter, ne serait-ce pas plutôt la variété différentielle qui permet de passer d'un point de vue à l'autre?

Salutations,

Simon

C'est pourtant exactement ça!

Un groupe de Lie est une structure très compliquée, qui superpose:
(1) une structure de groupe,
(2) une structure de variété différentiable,
(3) le tout de manière "cohérente", c-à-d que les opérations du groupe (multiplication et passage à l'inverse) sont des difféomorphismes.

L'origine vient effectivement de la Physique, mais les physiciens pensent plutôt en termes de "transformations infinitésimales", c-à-d en termes linéaires. Sans être méchant, la notion générale de groupe autre qu'un groupe de transformations linéaires (i.e. un sous-groupe de GL(n)) semble leur poser quelques difficultés...

Ce qui intervient donc le plus naturellement en Physique, c'est non pas le groupe de Lie, mais son algèbre de Lie, c-à-d l'espace tangent à l'origine (i.e. en l'élément neutre, suis-je clair?) au groupe de Lie.

Et comme en plus dans le formalisme hamiltonien habituel, le groupe de Lie a une action naturelle sur son espace tangent, ça permet d'obscurcir encore plus les choses..

Je cherche quelques références claires sur le sujet et je te tiens au courant, je pense avoir pas mal de choix. Et il ne me viendrait jamais à l'idée de chercher ce genre de choses dans un bouquin de QFT!

Tiens, un grand classique qui me vient tout de suite à l'esprit: "Classical Groups for Physicists" de Brian G. Wybourne, chez Wiley-Interscience. C'est un vieux truc, mais c'est celui où j'ai appris à manipuler les algèbres de Lie, c'est pour dire...

-- françois

[Lévesque]

Merci beaucoup à vous deux! C'est fou tout ce que j'apprends ces jours-ci!

Et merci aussi pour la suggestion de lecture, une bonne source est souvent la meilleur réponse à une question

[mtheory]

Tiens, un grand classique qui me vient tout de suite à l'esprit: "Classical Groups for Physicists" de Brian G. Wybourne, chez Wiley-Interscience. C'est un vieux truc, mais c'est celui où j'ai appris à manipuler les algèbres de Lie, c'est pour dire...

-- françois

D'ailleurs Brian a mis ça en ligne :
http://www.phys.uni.torun.pl/~bgw/lect.html

[Lévesque]

mtheory! C'est joyeux ça!!!

[mtheory]

mtheory! C'est joyeux ça!!!

[invite6de5f0ac]

D'ailleurs Brian a mis ça en ligne :
http://www.phys.uni.torun.pl/~bgw/lect.html

Trop cool!!!

Je ne savais pas que BGW sévissait encore (il n' a pas si longtemps en tout cas) et encore moins en Pologne...

Ses papiers sont super clairs, encore plus que son bouquin, c'est dire

-- françois

[GrisBleu]

- Si je comprends bien, du point de vue physique, les définition de départ du point de vue mathématique sont des propriétés "déduites" de l'espace tangent?

- Et du point de vue mathématique, les points de départs du point de vue physique sont des propriétés "déduites" de celle des variétés?

Si je me base sur le poly de R. Durrer, le point de vue physique y est : un vecteur est une entite qui se transforme lors d'un changement de carte selon

et le point de vue des matheux y est: l'ensemble des derivations sur les fonctions (germes) differentiables.
ai je compris ?

si oui : si tu pars de la definition matheuse, tu retombes directement sur les proprietes dites physiques. La premiere me semble assez "physique" car elle est independante de la carte choisie (la "physicienne" aussi, mais c'est moins clair, pour moi en tout cas). C'est un peu comme la derivee de Lie, on peut tout faire avec les regles algebriques, mais la definition a l'aide des chemins / diffomorphismes rend les choses plus "palpables" (enfin de mon point de vue)

++