Dérivées partielles du déterminant

[Cyp]

Bonjour,
je cherche à calculer les dérivées partielles de l'application qui à une matrice M=(mij) de Mn(IR) associe det(M) par rapport au n² variables que sont les coefficients de la matrice. Pour ça j'ai essayé d'utiliser la définition du déterminant (la somme avec les permutations, mais je maitrise pas LateX donc je vais éviter de l'écrire ici lol) et j'ai eu le raisonnement suivant :
si on dérive par rapport au coefficient mij fixé, on ne doit garder que les termes qui contiennent du mij dans la somme. Donc comme il y a n! permutations de n entiers, ici il faut garder les produit qui contiennent du m(i,sigma(i)) où sigma est une permutation de [1,n] telle que sigma(i)=j. Il reste dont en fait (n-1)! termes à considérer dans l'expression du déterminant, la dérivée partielle des autres par rapport à mij étant nulle. Mais après je suis coincé, je voudrais faire apparaître le déterminant de la comatrice (ou les cofacteurs) mais je bloque...
Vous n'auriez pas une idée ?
++ Cyp
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[Cyp]

Vous n'auriez pas ne serait ce qu'une indication... ? J'ai cherché sur le forum et sur google et j'ai pas trouvé grand chose...

[invite6de5f0ac]

Bonjour,

Une idée qui me vient comme ça en passant, ça vaut ce que ça vaut...

Dans le développement de det(m_ij) par rapport à la i-ème ligne (ou à la j-ème colonne), apparaît m_ij fois le déterminant de la matrice obtenue en éliminant la i-ème ligne et la j-ème colonne. C'est probablement ce que tu cherches (ou à peu près, je n'ai pas vérifié en détail).

Pour se convaincre intuitivement: dans le développement par rapport à la première colonne, on a bien m₁₁ x det (M') où M' s'obtient en effaçant la 1ère ligne et la 1ère colonne, plus d'autres termes où m₁₁ n'intervient pas. Donc mon idée est que la dérivée de det(m_ij) par rapport à la (i,j)-ème variable est (peut-être au signe près) le cofacteur correspondant.

Attention, je rédige ça au feeling, en improvisant, alors même si ça ne me paraît pas complètement idiot...

-- françois

[invite6de5f0ac]

Vérification faite: ça marche!

-- françois

[A voir en vidéo sur Futura]

[Cyp]

Merci beaucoup de ton aide !
++ Cyp

[invite6b1e2c2e]

Salut,

En fait, c'est plutot facile de calculer la différentielle du déterminant sur GLn(R) (ou C).
En l'identité, on a



Donc

Ensuite, pour A une matrice de GLn, tu as

Du coup,

où B est la matrice des cofacteurs de A. (cf la fameuse formule quand A est inversible.
Or GLn est dense dans Mn, et l'application det est analytique (C'est un polynôme) de même que l'application A -> B qui à une matrice associe sa matrice des cofacteurs.
Du coup, pour tout A dans Mn, par le principe du prolongement analytique, on a que
, où B est la matrice des cofacteurs de A.

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rvz, qui a toujours trouvé cette démonstration très belle

[invite6de5f0ac]

En fait, c'est plutot facile de calculer la différentielle du déterminant sur GLn(R) (ou C).
En l'identité, on a



(là, j'abrège, voir le post original!)
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rvz, qui a toujours trouvé cette démonstration très belle

D'accord, c'est joli, mais c'est pas un peu usine à gaz par rapport à l'expression "basique" du déterminant? Qui est multilinéaire, comme chacun sait. Alors le prendre au voisinage de l'identité, c'est limite pervers (mais ça fait du bien, je sais)

-- françois

[invite6b1e2c2e]

Je ne vois pas trop ce que tu veux dire.
Je trouve que calculer une différentielle en un point seulement, c'est quand même assez beau.
Tu utilises :
La structure de groupe de GLn (Groupe de Lie !)
La densité de GLn
Et tu te ramènes facilement à la différentielle en tout point, sous une forme explicite pas du tout facile à avoir si tu fais coordonnée par coordonnée.
D'autant plus que la différentielle en l'identité, faut quand même pas pousser, c'est plutot facile : Tu écris la matrice et tu te demandes comment tu peux avoir juste un terme en h, tu t'aperçois qu'il faut rester sur la diagonale, et ne prendre qu'un X_ii.
Tu sommes tout et tu vois facilement apparaitre la trace.
C'est vraiment ma preuve préférée, et pour le coup, je ne la trouve même pas perverse

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rvz

[invite6de5f0ac]

Je ne vois pas trop ce que tu veux dire.
Je trouve que calculer une différentielle en un point seulement, c'est quand même assez beau.
(j'abrège encore!)

Mais je ne dis pas le contraire! Je trouve juste que c'est un peu disproportionné, sachant que chacun des coefficients de la matrice n'apparaîtra de toutes façons qu'au premier degré dans le déterminant...
Après, pour déterminer avec quel coeff, soit on fait comme j'ai dit ("à la main"), soit on fait plus subtil (et plus joli, c'est vrai).

-- françois

[invite6b1e2c2e]

Oui, bon d'accord, je crois que je vois ce que tu veux dire. C'est effectivement un peu plus conceptuel.

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rvz