Notion de module de présentation finie

invitecbade190 · 04/08/2015, 00h38

Bonsoir à tous,

Par définition, un $\text{[math]}$ - module est de présentation finie s'il existe une suite exacte de $\text{[math]}$ - modules de la forme : $\text{[math]}$ .

J'aimerais savoir quel est le rôle de $\text{[math]}$ dans cette définition, et l’intérêt d'être placé dans cette endroit dans la suite exacte ?

Merci d'avance.

invitecbade190 · 04/08/2015, 01h46

Je modifie ma question, excusez moi :

En fait, si $\text{[math]}$ est exacte, alors : $\text{[math]}$ avec : $\text{[math]}$ , si on prend l'équivalent de cette notion de présentation finie d'un module, par rapport aux groupes, un groupe $\text{[math]}$ est par définition, de présentation finie si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . avec $\text{[math]}$ les générateurs de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ les relations qui constituent des mots du groupe libre $\text{[math]}$ d'image $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ .
J'aimerais savoir comment se présentent l'analogie entre ces deux notions de présentation finie par rapport aux modules, et par rapport aux groupes ?

Merci d'avance.

invitecbade190 · 04/08/2015, 15h28

svp, n'y'a t-il pas de ressemblances à souligner,ou d'analogies entre ces deux notions de présentation finie d'un groupe d'un coté et d'un $\text{[math]}$ - module de l'autre coté ?
Merci de votre aide.

invite9dc7b526 · 04/08/2015, 15h38

ben regarde ce qui se passe quand A=Z. Un homomorphisme de modules entre Z^n et M c'est le choix des n images des éléments de la base canonique de Z^n. Ca devrait être les n générateurs de M. <à compléter>

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invitecbade190 · 04/08/2015, 15h55

Je ne comprends pas ce que je dois compléter.
Si $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ ( surjectif, par définition d'une suite exacte à droite ). alors : $\text{[math]}$ , est ce que cela correspond à : $\text{[math]}$ ? qui est $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ dans ce cas là ? $\text{[math]}$ est la base canonique de $\text{[math]}$ , non ?

invitecbade190 · 04/08/2015, 17h01

Si $\text{[math]}$ est le morphisme surjectif indiqué plus haut, alors, voiçi comment je vois les choses ( sans être sûr ) :
On considère la base canonique de $\text{[math]}$ qui est : $\text{[math]}$ , et on pose : $\text{[math]}$ , alors : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont les générateurs de $\text{[math]}$ puisque $\text{[math]}$ est surjectif.
Pour que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ s'identifient, il faut que : $\text{[math]}$ , non ?.
Enfin, je ne comprends rien.

invite9dc7b526 · 04/08/2015, 19h23

tu as raison j'ai fait fausse route. Dans le bus en rentrant du boulot (mais pas en posant le pied sur le marchepied) je me suis rappelé qu'un Z-module était un groupe abelien et que ces questions de générateurs et relations étaient peu intéressantes pour les groupes abeliens

invitecbade190 · 04/08/2015, 20h39

Merci, mais, je ne comprends pas pourquoi on ajoute $\text{[math]}$ dans la suite exacte : $\text{[math]}$ . Quel est son rôle ?. Le sais tu minshabens ?
Merci d'avance.

**leon1789** · 04/08/2015, 21h40

le A^m sert à préciser m relations linéaires (qui engendrent toutes les autres) entre les n générateurs de M.

invitecbade190 · 04/08/2015, 21h50

Merci leon1789.
Peux tu me fournir une petite démonstration qui confirme ce que tu dis pour que je comprennes beaucoup mieux, si cela ne te dérange pas biensûr.
Merci d'avance.

**leon1789** · 04/08/2015, 22h00

Je peux t'aider à trouver la réponse.

On a la suite exacte : $\text{[math]}$ .
M est engendré par n vecteurs : lesquels ? Ce sont les images de ....
Qu'est-ce qu'une relation linéaire entre ces n vecteurs ? C'est un élément de ...
Le noyaux de la surjection est engendré par m vecteurs : lesquels ? Ce sont les images de ....

invite5357f325 · 04/08/2015, 23h44

C'est la même chose qu'une présentation de groupe, et je crois me souvenir que tu avais toute les infos nécessaires dans un autre fil.
À noter qu'une module finiment présenté est en particulier finiment engendré (la réciproque est vrai si A est nothérien).

invitecbade190 · 05/08/2015, 00h46

Envoyé par leon1789

On a la suite exacte : $\text{[math]}$ .
M est engendré par n vecteurs : lesquels ? Ce sont les images de ....

Ce sont les images de la base canonique de $\text{[math]}$ qui sont : $\text{[math]}$ .

Envoyé par leon1789

Qu'est-ce qu'une relation linéaire entre ces n vecteurs ? C'est un élément de ...

C'est un élément de $\text{[math]}$ , il me semble.

Envoyé par leon1789

Le noyaux de la surjection est engendré par m vecteurs : lesquels ? Ce sont les images de ....

Ce sont les images de la base canonique de $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ , parce que la suite est exacte et donc, $\text{[math]}$ avec : $\text{[math]}$ : deuxième flèche de la suite exacte, non ?

Comment calcule -t-on $\text{[math]}$ ?
Merci d'avance.

Merci à toi aussi @petrifie pour ton intervention.

**leon1789** · 05/08/2015, 02h24

Envoyé par chentouf

Ce sont les images de la base canonique de $\text{[math]}$ qui sont : $\text{[math]}$ .

ok

Envoyé par chentouf

C'est un élément de $\text{[math]}$ , il me semble.

ok

Envoyé par chentouf

Ce sont les images de la base canonique de $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ , parce que la suite est exacte et donc, $\text{[math]}$ avec : $\text{[math]}$ : deuxième flèche de la suite exacte, non ?

ok

Envoyé par chentouf

Comment calcule -t-on $\text{[math]}$ ?

Je pense qu'il est algorithmiquement impossible de calculer m en toute généralité lorsque M est un module de type fini et A anneau noethérien.
Mais tu peux essayer de traiter des cas particuliers. Attention, cela se complique très vite !

invitecbade190 · 25/08/2015, 19h47

Bonjour,

Ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Morphisme_affine , je lis que $\text{[math]}$ ( morphisme de schémas ) est fini s'il est localement affine et si $\text{[math]}$ est un module fini sur $\text{[math]}$ . Que veut dire un module fini ? Je sais ce qu'est un module de type fini mais pas un module fini.
Merci d'avance.

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