Methode de resolution d'équation différentielle du premier ordre

[inviteeab925e1]

Bonjour, dans l'un de mes exercices j'ai une équation différentielle a résoudre avec un second membre. A priori il s'agirait d'un charge de condensateur. La réelle question se situe au niveau de la méthode de résolution, je souhaite savoir si celle ci est bonne.

.

La première étape consiste a dire et on trouve donc la solution générale suivante :

La seconde étape consiste a reprendre l'équation et a remplacer la constanste K par une fonction

et j'obtiens :









(integration)

donc

la condition initiale suivante est donnée

Ai je le droit de dire : donc K= 0 et que
donc

car lorsque je remplace s(t) par cela ne marche pas du tout, je pense a des erreurs de signe dans un premier temps mais je ne vois pas ou et après je pense que je me suis embrouillé dans la méthode.

Pouvez vous m'aider?

cordialement.
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[gg0]

Ton résultat est faux parce que tu as oublié que K multiplie l'exponentielle, et tu as ajouté. D'autre part, l'exponentielle ne s'annule pas pour t=0. Tu as fait du "n'importe quoi" avec la condition initiale, alors qu'il suffit d'écrire s(0) et de dire que c'est 0.

une méthode bien plus simple est due au fait qu'il y a une solution évidente : une constante, qu'on calcule facilement. Cette fois-ci, la solution particulière s'additionne.

Cordialement.

[inviteeab925e1]

Je me doute que c'est faux, c'est pour cela que j'ai posé la question "ai je le droit de...", maintenant j'ai écrit l'équation et essayé de la tourner dans tout les sens. Je n'y arrive toujours pas, donc je demande juste que l'on m'explique, pas de faire le calcul a ma place. Juste quelques détails.

J'ai compris que lorsque l'équation avait un second membre il faut additionner une solution de l'équation homogène plus celle de l'équation avec second membre.

Est ce que cette formule : car déjà a ce niveau la je me demande si il n'y a pas d'erreurs.

cordialement

[gg0]

Tu as pris pour K une fonction que tu as déterminée. Il suffisait de tirer les conséquences logiques de ce que tu avais fait. Il est inutile de croire que tu as compris quand manifestement ça ne marche pas. Il faut réfléchir et comprendre.

Tu sembles mélanger deux méthodes, donc soit tu les reprends, en essayant de comprendre de quoi elles parlent. Soit tu relis posément ce que j'ai écrit dans mon premier message, qui parle des deux méthodes, mais l'une après l'autre.

Méthode 1 : Si on connaît une solution particulière, on l'ajoute à la solution générale de l'équation sans second membre.
méthode 2 : La solution générale de l'équation sans second membre étant kf(t), on remplace k par une fonction, on la détermine, puis on remplace k par le résultat trouvé.

Bonne réflexion !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite60e2cfc4]

Il me semble que tu traite un exercice d'éléctro-cinétique.
En physique, on se prend moins la tête qu'en mathématiques.
Quand on a :


L'idée est que :


Ensuite, c'est un problème de Cauchy, avec les conditions intiales, tu détermines ces constantes et tu obtiens l'unique solution.


Ci-dessous en spoiler je te passe un exemple de résolution et d'équation différentielle du premier-ordre dans le cadre d'un exercice d'électrocinétique.

 Cliquez pour afficher

Prenons un circuit RC vérifiant :

Comme


Il vient que :


On pose :


Et on obtient alors :


On suppose que :

On cherche
D'où le fait que A = - B (suffit d'évaluer u(t) en t=0).

De plus, en dérivant u(t) on a :


De là , on en déduit de par notre équation différentielle que :



Quand, t tend vers l'infinie on en déduit l'égalité :
Par conséquent,


Il reste à déterminer la constante k, en récrivant l'équation différentielle avec et
On en déduit naturellement que

La solution recherchée est donc :

Mon cour de SUP dit qu'une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficient constant, dans le cadre d'un problème de Cauchy, admet une unique solution.

Cette solution est somme de la solution de l'équation homogène associée et d'une solution particulière.
La résolution de l'équation homogène est simple, il suffit de revoir ton cour pour t'en apercevoir.
Après, la recherche d'une solution particulière, soit la trouve à l'aide de ton intuition, soit tu utilises la méthode de la variation de la constante.

Pour connaitre la méthode de la variation de la constante, cet article de wikipédia traite du sujet et même pour le second ordre !
Ici pour l'article

Cdt

[inviteeab925e1]

Bonsoir, merci a red17 pour ton exemple. Je tiens quand même a clarifier certaines choses.

gg0 tu dis

Il est inutile de croire que tu as compris quand manifestement ça ne marche pas. Il faut réfléchir et comprendre

Effectivement depuis le début j'affirme que je n'ai pas compris pourquoi mon calcul ne fonctionne pas. D'où l'idée de poser cette question. Je tiens a souligner qu'avant de poster sur ce forum j'ai essayé, ré essayé, relut et chercher sur internet sans vraiment comprendre au final. Voire même que c'est devenu pire.
Second point, je n'ai qu'un BEP électronique en poche, autant dire que j'ai un faible niveau en math. Comme je suis fan d’électronique (c'est aussi mon métier) et que je souhaite acquérir de nouvelles compétences, je me suis dit que les outils mathématiques serait un PLUS non négligeable pour tenter de concevoir mes montages sans un dégagement de fumé (en plus d'une petite expérience car je suis salarié). Alors je suis désolé de poser des questions surement et parfaitement débile mais je n'ai pas votre savoir et je n'ai non plus été plus loin que ce BEP.

gg0 tu dis également

Il faut réfléchir et comprendre.

Eh bien au bout d'un moment je finis comme tout le monde par tourner en rond....

A la base je demandais simplement de me clarifier cette question
J'ai déjà assez ramer pour acquérir des connaissances supplémentaire de première et de terminale ou tout est beau et parfait et voila que j'essai d'en acquérir d'un niveau supérieur et que j'ai l'impression d'offenser.

Cordialement

[gg0]

Quand je parlais de ne pas croire, je parlais des méthodes, pas de leur application. Si tu n'as pas compris le cours de base sur les équations différentielles, tu vas faire n'importe quoi, et il ne sert plus à rien de tourner en rond sur ton calcul faux. Quand on se trompe de chemin, il faut revenir au début.

J'espère que maintenant tu as compris que ton calcul ne fonctionne pas parce que tu ne fais pas le bon calcul. Que tu imites des calculs que tu n'as pas compris, faute d'avoir étudié la méthode, d'y avoir réfléchi. C'est cela que concerne "réfléchir et comprendre".

Comme je ne sais pas quel cours t'a servi, je ne peux pas en dire plus, mais c'est là qu'est ton problème : Tu as à appliquer des méthodes, pas à imiter des calcul. Déjà en BEP c'est parfois une mauvaise idée, mais en tout cas, au niveau post bac, ça ne fonctionne plus. Donc revois le cours.

Cordialement.

NB : As-tu compris vraiment ce qu'est une solution d'une équation différentielle ? Souvent, c'est la clef de la compréhension.

[inviteeab925e1]

Bonsoir, c'est justement ce que je voudrais éviter de faire! C'est de copier sans comprendre et de faire n'importe quoi. Mais comme tout le monde, je ne comprends pas forcement tout comme il le faudrait et du premier coups.

Pour les équations différentielles, un solution est un ensemble de fonctions qui peuvent résoudre cette équation et les conditions initiales permettent de trouver LA solution.

Pour les cours de première et de terminale, j'avais acheté des livres de math de la section STI génie électronique (aujourd'hui c'est STI2D je crois), en gros ça balaye les fonctions, les dérivés, les primitives et intégrales, les suites etc....La plupart des résultats sont vérifiables via la calculatrice et certains exercices sont corrigés. Autant dire que les premiers exercices appliquaient directement le cour et peu à peu cela devient difficile. Bon j’admets que cela a été laborieux mais alors en ce qui concerne les cours IUT ou BTS c'est une autre paire de manches.

cordialement

[gg0]

Ce n'est pas tout à fait ça :
Une solution est une fonction qui vérifie l'équation (on peut remplacer l'inconnue de l'équation, le s(t) de ton exercice, et alors l'égalité est vraie).
Ensuite, dans tes cours de BTS ou IUT, les deux principales méthodes sont exposées. Il suffit d'en appliquer une. Si tu utilises la "variation de la constante", utilise-la complétement : On essaie de trouver une fonction k(x) telle que s(x)=k(x)ss(x) soit solution de l'équation, ayant déjà trouvé que kss(x) est une solution de l'équation homogène (ou sans second membre, c'est la même chose). On résout et ayant trouvé k(x), on a fini, non ??? C'est là qu'il faut penser : Quel rapport entre le k(x) et les solutions ? Ben, on l'a écrit !!

Prends bien le temps de lire et comprendre les phrases en français. Dans un texte mathématique, ce sont les plus importantes, celles qui donnent du sens au reste. A certains niveaux, un texte mathématique est essentiellement composé de phrases en bon français.

Bon travail !

NB : je ne reprends pas les méthodes, tu les as.

[QueNenni]

Zonda G25 se plante juste à la fin, c'est dommage : il aditionne au lieu de multiplier la fonction issue de la méthode !
d'autant que son texte est facile à lire en latex.