Equation différentielle du premier ordre

[invite7a3c52af]

Bonjour !

Après deux ans de DUT informatique, je prépare les "tests de connaissances" pour les admissions de certaines écoles. Ce n'est pas vraiment ce genre de maths que j'ai fait pendant deux ans, alors je galère un peu.

Voilà le sujet (vrai/faux) :

On considère l’équation différentielle (
E ) : y' + y tan x = sin 2x
Alors :
(A) (
E) est une équation différentielle linéaire
(B) y = 2cos ² x est une solution de (E)
(C) y = -1- cos ² x est une solution de (E)
(D) La solution générale de (E) est y = K cos x - 2cos ² x avec K € R
(E) Toute solution de (E) est paire

J'ai bien trouvé une solution mais elle ne correspond à aucune réponse, donc j'imagine que j'ai fait une erreur quelque part...

Voilà ce que j'ai fait :
(E0) : y' + y * tan x = 0
y' / y = -tan x

Donc y = K * e^( ln (cos x)) = K * cos x
Jusque là, je ne pense pas m'être trompé

Variation de la constante :
y = k(x) * cos x
y' = k'(x) * cos x - k(x) * sin x

Donc d'après (E) on a : k'(x) * cos x - k(x) * sin x + k(x) * cos x (sin x / cos x) = sin 2x
Cad : k'(x) * cos x = sin 2x
k'(x) = 2 sin x
Donc k(x) = -2 cos x

Alors d'après (E0) on a, après simplification :
y0 = 2 * sin x * cos x = sin 2x

Et pour solution générale de (E) : y = sin 2x + K* cos x

J'ai beau reprendre mes calculs, je ne vois pas où j'ai pu faire une erreur. Ou alors c'est peut être la méthode que j'ai mal comprise quelque part...

Merci d'avance pour votre aide !

PS : Il existe des logiciels pour mettre en forme des calculs ?
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[invite57a1e779]

Bonjour !
Variation de la constante :
y = k(x) * cos x
...
Donc k(x) = -2 cos x

On en déduit la solution particulière :
et la solution générale de (E) :

[invite7a3c52af]

Il y a donc bien quelque chose que j'avais compris de travers. C'est plus clair maintenant, merci beaucoup ! =)

Bonne soirée

[inviteea028771]

PS : Il existe des logiciels pour mettre en forme des calculs ?

Sur ce forum tu peux utiliser les balises TEX

Par exemple y = K e^{ \ln (\cos x)} donnera



Un petit memo des symboles : http://amath.colorado.edu/documentat...eX/Symbols.pdf

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf1870ed]

Dans cet exercice on ne te demande pas de résoudre explicitement l'équation différentielle : pour les question A/, B/ et C/ il suffit de vérifer que les fonctions sont ou ne sont pas solution de (E)
Pour D/ il suffit de vérifer que cos(x) est solution de l'équation sans second membre
Pour E, changer x en -x, et voir ce qui se passe