Bonjour,
Je voudrais savoir si vous connaissez une ou des définitions formelles de références de la notion de surface. À commencer par la surface intérieur d'un polygone.
Je m'explique pour un disque il est assez naturel de le définir comme l'ensemble des points qui ont une distance comprise entre 0 et un maximum donné (le rayon) avec un point de référence (le centre).
Mais pour un polygone, c'est un objet a priori plus simple donc la définition géométrique intuitive est évidente, mais je ne trouve pas de définition formelle évidente de la surface intérieure d'un polygone.
Le plus formel que je trouve c'est de définir la surface d'un triangle (plus simple car un triangle est toujours convexe) puis de dire qu'un polygone peut être trianguler et que sa surface est l'union des surfaces des triangles qui le composent. Je trouve que c'est une définition un peu complexe puisqu'elle nécessite de trianguler le polygone, et est-ce qu'on peut vraiment justifier la correction d'un algorithme de triangulation sans avoir défini ce qu'est la surface d'un polygone ?
Pour un polygone convexe, une définition qui me viendrait assez naturellement consisterait à dire que sa surface est l'ensemble des points qui sont «à gauche» de toutes ses arêtes en supposant définies la notion de «à gauche d'une arête» et que les arêtes soient orientées de façon consistante (dans l'ordre trigo des points disons).
Mais pour un polygone quelconque, qui n'est donc pas nécessairement convexe, ça ne marche plus. Sur un exemple donné on peut faire des choses semblables en disant des choses du type «est à gauche de .. et .. mais à droite de .. et ..» mais la définition générale ne saute pas aux yeux et il faut sans doute prendre en compte des «retournements de courbures» ou je ne sais pas comment ça s'appelle.
Alors plutôt que de me prendre la tête et comme je suis persuadé que c'est une question qui a déjà étudiée par plein de gens j'aimerai bien savoir ce que ça donne, mais je trouve rien avec google.
J'espère que certains auront plus de connaissances que moi.
Merci
PS: pour ceux qui se demandent pourquoi je demande ça c'est parce que je voudrais prouver la correction d'algos d'union de polygones (des algos assez classiques) et pour ça il faut que je définisse le résultat attendu; et la manière la plus naturelle qui m'est venue est de dire qu'un polygone union est le polygone dont la surface intérieure est l'union des surfaces intérieures des polgyones dont on veut faire l'union.
Évidemment plus la façon de définir ces surfaces intérieures sera simple, moins la preuve sera lourde.
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