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Aire d'un polygone M1(z1)...Mn(zn)



  1. #1
    Nefira

    Aire d'un polygone M1(z1)...Mn(zn)


    ------

    Bonjour, j'ai un petit problème concernant un exo de colle, pourriez vous m'aider ?

    Soit z1, z2, ..., zn, n complexes.
    Sachant que le polygone constitué des points d'affixe z1, z2, ..., zn est convexe, calculer son aire en fonction des zi.

    Il faut d'abord trouver l'aire d'un triangle z1z2z3, mais je n'y arrive pas -__-. D'après ce que j'ai compris, il faut transformer le triangle pour avoir z1 nul, z2 réél, j'ai essayé avec la composée d'une translation de vecteur (z1,O) puis une rotation mais je ne trouve pas son angle et je ne suis pas sure que ce soit la bonne méthode.

    -----

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  3. #2
    Thorin

    Re : Aire d'un polygone M1(z1)...Mn(zn)

    Si tu veux procéder ainsi, l'angle de la rotation est tout simplement l'argument de z2
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  4. #3
    methodixy

    Re : Aire d'un polygone M1(z1)...Mn(zn)

    Citation Envoyé par Nefira Voir le message
    Bonjour, j'ai un petit problème concernant un exo de colle, pourriez vous m'aider ?

    Soit z1, z2, ..., zn, n complexes.
    Sachant que le polygone constitué des points d'affixe z1, z2, ..., zn est convexe, calculer son aire en fonction des zi.

    Il faut d'abord trouver l'aire d'un triangle z1z2z3, mais je n'y arrive pas -__-. D'après ce que j'ai compris, il faut transformer le triangle pour avoir z1 nul, z2 réél, j'ai essayé avec la composée d'une translation de vecteur (z1,O) puis une rotation mais je ne trouve pas son angle et je ne suis pas sure que ce soit la bonne méthode.
    Soit Aire(a,b,c) l'aire du triangle dont les sommets sont d'affixes a, b et c.

    L'aire d'un polygone convexe de n>3 sommets est la somme des aires de "certains" triangles qui y sont inclus, soit :

    Aire_polygone(M1M2...Mn) = [A(z1,z2,z3) + A(z3,z4,z5) + ... ? ] + A(z1,z3,zn).

    En d'autres termes c'est la somme des aires M(i)M(i+1)M(i+2) auxquels on ajoute l'aire du triangle M1M3Mn.

    Prenez un rectangle pour vérifier. (ABCD) = (ABC) + (ACD)

    Sachant qu'il une formule qui donne l'aire d'un triangle quelconque en fonction des longueurs de ses cotés, alors ...

    C'est une indication simple qui pourrait vous diriger vers la solution.

    Bon courage !
    Methodix, http://infomath.online-talk.net

  5. #4
    methodixy

    Re : Aire d'un polygone M1(z1)...Mn(zn)

    pesst: je me suis trompé un peu dans le découpage en triangle. Il s'agit plutôt de prendre un sommet quelconque (sans perte de généralité, on prend M1) et calculer les aires des triangles suivants:

    M1M2M3, M1M3M4, M1M4M5, ..., M1M(k)M(k+1), M1M(k+1)M(k+1), ... jusqu'à M1M(n-1)M(n).

    Un pentagone ABCDE (5 cotés) sera décomposé comme suit :

    ABC + ACD + ADE

    Methodix, http://infomath.online-talk.net

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Nefira

    Re : Aire d'un polygone M1(z1)...Mn(zn)

    Avec la formule de héron ?
    S = racine(p(p-a)(p-b)(p-c)) ? mais c'est trop compliqué non ?

  8. #6
    methodixy

    Re : Aire d'un polygone M1(z1)...Mn(zn)

    Citation Envoyé par Nefira Voir le message
    Avec la formule de héron ?
    S = racine(p(p-a)(p-b)(p-c)) ? mais c'est trop compliqué non ?
    Je ne sais pas s'il y a une formule de calcul d'aire d'un triangle avec des nombres complexes !!! j'ai oublié, il faut faire un effort pour éclaircir ce point puisque s'il est résolu, la solution devient immédiate.
    Methodix, http://infomath.online-talk.net

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  10. #7
    Thorin

    Re : Aire d'un polygone M1(z1)...Mn(zn)

    L'aire d'un triangle est tellement simple à calculer qu'on peut trouver plein de formules différentes avec les complexes...
    La question est de savoir en fonction de quoi on veut la formule ? les arguments ? les modules ? les cosinus ? sinus ? conjugués ? etc...
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

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