Analyse exp(-x)*sin(x)

[invite0e29aa7d]

Bonjour,

Je suis en cours préparatoire, et voici ce que l'on me propose :

Considérons la fonction f définie sur dans par

1. Etudier astucieusement les variations de f et tracer sa courbe représentative Cf.
2. Donner l'équation de la tangente à Cf au point d'abscisse 0.
3. Montrer que Cf est tangente à la courbe T d'équation y=exp(-x). Préciser les points de contacts.
4. Tracer Cf et T

Pour commencer, je dérive f :
1. car
Comment est-ce que j'étudie "astucieusement" les variations de cette fonction alors que sin(x) est présente ?

2. L'équation de la tangente à Cf au point d'abscisse 0 est : (l'axe des abscisses)

3. Pouvez-vous m'indiquer le procédé s'il vous plaît ?
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[gg0]

1) dérivée fausse
2) non

Donc déjà faire proprement ce qui est facile. Revoir le signe de l'exponentielle. Revoir ce qu'est une tangente et son équation.

Bon travail !

[invite0e29aa7d]

D'accord,

La dérivée de f est ?

Pouvez-vous me guider pour la suite ?

[invite23cdddab]

Donc f' est du signe de

Quand est-ce que est positif?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0e29aa7d]

Je dresse le tableau de variations :
Sur soit f décroissante
Sur soit f croissante
Sur soit f décroissante

Mais ensuite ? Cela se répète indéfiniment, comment dois-je procéder ?

[invite23cdddab]

Bah simplement par 2pi periodicité du cosinus:

Si alors

Si alors

Donc f est croissante sur et décroissante sur

[invite0e29aa7d]

Mille merci !
Si d'autres veulent compléter la question 1 de n'importe quelle façon, je suis curieux de savoir pourquoi le mot "astucieusement" est utilisé ici car je ne le vois pas souvent.

Il vient :
2. La tangente à Cf au point d'abscisse 0 est :

3. Pouvez-vous m'expliquer le procédé s'il vous plaît ?

[invite60e2cfc4]

Bonsoir,

Pour la 3, je pense qu'il faut étayer l'existence de tangentes communes au courbe Cf et T.

Rappel :

Soient et deux fonctions ayant pour ensemble respectifs de définition et .
Notons et les courbes représentatives des fonctions et .
Supposons et dérivables sur leur ensemble de définition.
Alors, et admettent une tangente commune en un point commun si et seulement si il existe un réel vérifiant le système :

[invite0e29aa7d]

Bonsoir,

Il serait long de nous réécrire le détail de mes calculs mais voici ce que j'ai fait :

-J'ai égalisé f(x) et y de cette manière
-J'ai égalisé f'(x) et y' de cette manière

Ce que j'ai trouvé est qu'il tel que x vérifie le rappel précédent

Mille merci !

Si d'autres personnes veulent compléter la question 1, je serais curieux de savoir pourquoi le mot "astucieusement" est utilisé ici car je ne le vois pas souvent

Have fun

[invite23cdddab]

Si d'autres personnes veulent compléter la question 1, je serais curieux de savoir pourquoi le mot "astucieusement" est utilisé ici car je ne le vois pas souvent

Have fun

C'est juste pour que les étudiants pensent à écrire que

[invite0e29aa7d]

Excellent !

Mille merci !

Have fun

[Frydman Charles]

La fonction est etudiée de façon humoristique dans le film "la moutarde me monte au nez". Ci-après l'extrait vidéo https://youtu.be/vEZcqVF6JbI
La derivée est exacte, mais la formule générale est fausse : (uv')=uv'+u'v. Le prime aurait dû se trouver à l'extérieur de la parenthèse. (uv)'.... La formule est corrigée hors champs à la fin de l'extrait. Puis Pierre Durois devient très confut et le tableau se couvre de formules mathematiques trigonometriques heteroclites. Peut on dire que la fonction est une sinusoide amortie ? En bas du tableau une intégrale de Riemann sans rapport avec la fonction. Une bonne élève l'a remarqué "est-ce bien l'integrale au sens de Riemann ?". Pierre Durois "absolument,oui".

[stefjm]

La fonction est etudiée de façon humoristique dans le film "la moutarde me monte au nez". Ci-après l'extrait vidéo https://youtu.be/vEZcqVF6JbI

Excellent Pierre Richard!