Formule combinatoire (suite)

[invite6ef240d9]

Bonjour,

Je cherche une démonstration de la formule suivante:

J'ai essayé par récurrence mais pas facile.
Si quelqu'un a une idée merci d'avance
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[gg0]

Elle est manifestement fausse : prendre X=k.

[Médiat]

Quel k ?

[inviteb3412e7c]

Si la récurrence ne marche pas, est-ce que scinder ton équation en n équations selon le degré des coefficients du polynôme aide en quoi que ce soit?

[A voir en vidéo sur Futura]

[leon1789]

Avé !

Pour répondre à la question d' Arttle , posons

Alors le terme constant du polynôme est (reste à prouver que cela vaut n!)

et le terme en est, à un facteur binomial multiplicatif près, (reste à prouver que cela vaut 0)

[gg0]

Désolé pour mon message d'hier soir : J'aurais mieux fait d'aller dormir

[gg0]

..........

[invite9dc7b526]

Cette formule vient de l'approximation des dérivées par différences finies. En gros elle dit que la dérivée n-ième de X^n est la fonction constante égale à n!

[leon1789]

Ah ! C'est donc la formule du binôme appliquée à l'opérateur de différences https://fr.wikipedia.org/wiki/Diff%C3%A9rence_finie

Du coup, la formule générale est où P est un polynôme quelconque, mais de degré n, et C son coefficient dominant.

Et en conséquence la formule présentée par adm22 est obtenue avec

[invite6ef240d9]

Ok, merci à tous en particulier Leon1789

[leon1789]

c'est surtout minushabens