Devoir de vacance de type concours

[invite315879ac]

Bonjour,
j'entre en prépa ECS à la rentrée et je dois effectuer un problème de type concours, or je bloque sur un grand nombre de questions, pouvez-vous m'aider ?

"On définit une suite réelle (Un)n0 par Uo0 et, pour n1 : Un = (avec n-1 en indice)

1. Montrer par récurrence que pour tout entier n, Un .

==> cela me semble logique mais je n'arrive pas à le démontrer... pouvez-vous m'orienter ?

Pn =
Initialisation : U1 = or Uo Donc U1
Hérédité :

=> ?

2.(a). Montrer par analyse synthèse que pour tout x appartenant à R+, 1/2*(1+x)

==> je pense avoir réussi, donc pas besoin d'aide pour cette question

2.(b). En déduire par récurrence que pour tout entier n, Un n + Uo/2^n puis (théorème des gendarmes) que la suite (Un-1/n²) n1 (en indice) converge vers 0.


==> je ne sais pas du tout comment m'y prendre, je vois bien un lien avec les questions précédentes mais je manque d'inspiration.. je ne demande pas la réponse, seulement un peu d'aide pour m'orienter dans la bonne direction

Merci d'avance !!
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[FARfadet00]

Bonjour,

Initialisation : U1 = or Uo Donc U1

À vrai dire, il vaut mieux écrire

Hérédité :

=> ?

Commencez par écrire votre hypothèse de récurrence : "On suppose P_n vraie pour un certain entier naturel n". Montrons que P_n+1 est vraie. ça ne mange pas de pain à écrire mais ce sera attendu sur la copie du concours.
Pour le détail du calcul, tout ça est un peu rouillé pour moi, mais je ne vois rien qui empêche de partir de
Ensuite, sachant que , je sais que
Donc je peux écrire
La fonction racine carré est strictement croissante sur , donc

L'héridité étant démontrée, il ne reste qu'à conclure proprement.

2.(b). En déduire par récurrence que pour tout entier n, Un n + Uo/2^n puis (théorème des gendarmes) que la suite (Un-1/n²) n1 (en indice) converge vers 0.

Je n'arrive pas bien à lire ce qu'il faut démontrer.

[invite315879ac]

À vrai dire, il vaut mieux écrire

Pour cela, autant pour moi c'est une faute de frappe !

Commencez par écrire votre hypothèse de récurrence : "On suppose P_n vraie pour un certain entier naturel n". Montrons que P_n+1 est vraie. ça ne mange pas de pain à écrire mais ce sera attendu sur la copie du concours.
Pour le détail du calcul, tout ça est un peu rouillé pour moi, mais je ne vois rien qui empêche de partir de

Merci pour ce conseil.
Concernant l'hérédité, je me demande pourquoi je n'y ai pas pensé, merci.

Je n'arrive pas bien à lire ce qu'il faut démontrer.

2.(b). En déduire par récurrence que pour tout entier n, Un puis (théorème des gendarmes) que la suite n1 (n1 est en indice) converge vers 0.

Cela est-il plus clair ?

[FARfadet00]

Pour la récurrence, commencez calmement par votre initialisation et votre hypothèse de récurrence : vous avez su faire à la première question.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Pour cela, autant pour moi c'est une faute de frappe !

U0 >= 0 va très bien !

[invite315879ac]

Posons P(n) : Un

Initialisation :
Hérédité : Soit n >=n0, un entier naturel. Supposons que P(n) est vraie.


puisque dans la question 2.a nous avons démontré que

[FARfadet00]

Pareil, comme l'a indiqué Médiat, tu peux faire ton initialisation à n=0, pour être bien sûr de démontrer pour tout entier naturel.

Si je peux te donner un autre conseil, ça aide de mettre noir sur blanc ce qu'on cherche à démontrer.
Ici, tu veux montrer que P_n+1 est vraie, ce qui revient à montrer que
Or, par la question précédente, tu sais que
Donc si tu arrives à montrer que , alors tu auras montré que P_n est héréditaire.

ça c'était le petit coup de pouce, tu devrais être en mesure de terminer la récurrence en partant de ton hypothèse de récurrence pour démontrer ça

[invite315879ac]

Merci beaucoup, je m'y remet immédiatement

[invite315879ac]

En fait non, je n'y arrive pas, j'ai tout posé sur papier, malgré cela je n'arrive pas à y voir clair, je pars dans tous les sens et je ne trouve rien de probant.
Je continue tout de même, je vais bien y arriver

[FARfadet00]

[1]

ça c'est ce que tu cherches à montrer, car comme je te l'ai expliqué plus haut, si tu montres ça, ça revient à montrer que ta proposition est bien héréditaire. Jusque là ça va ? Dis le franchement ^^

Maintenant que tu sais ce que tu cherches à démontrer, le plus simple dans ce cas c'est de partir de ton hypothèse de récurrence [2] et de retomber sur ce que tu veux montrer. Toujours bon pour toi ?

Si tu as bien saisi la démarche mais que tu n'y arrives toujours pas, c'est que tu dois un peu te perdre dans tes lignes de calcul. Débrouille toi pour obtenir à gauche de ton inégalité (en partant de [2]). Du coup tu te retrouves avec une expression de l'autre côté de ton inégalité, il faut que tu trouves un moyen de montrer que ça vaut bien . En l'occurrence, tu développes et tu simplifies un peu et c'est bon. Donc pour finir, à partir de [2], tu as bien retrouvé [1], donc c'est héréditaire.

Je ne te mettrai le détail du calcul qu'en dernier recours, parce que c'est une gymnastique à faire

[invite315879ac]

Alors en fait il y a bien une chose que je ne comprends pas : si est ce que l'on cherche à démontrer, alors Un= ?
je ne comprends pas puisque jusqu'à présent on parlait d'inégalités, donc je n'arrive pas à faire le lien d'égalité entre Un et

Maintenant que tu sais ce que tu cherches à démontrer, le plus simple dans ce cas c'est de partir de ton hypothèse de récurrence [2] et de retomber sur ce que tu veux montrer. Toujours bon pour toi ?

Jusque là, tout va bien !

Je vais faire le calcul !
merci

[invite315879ac]

C'est bon j'ai réussi le calcul ! Merci infiniment ! je partais beaucoup trop loin en fait ^^

[FARfadet00]

si est ce que l'on cherche à démontrer, alors Un= ?

Non pas tout à fait. Je détaille un peu mieux, dis moi si c'est plus clair pour toi :
Hypothèse de récurrence : "On suppose que P_n est vraie pour un certain entier naturel n". Maintenant montrons que P_n+1 est vraie.

P_n+1 est vraie si et seulement si l'inégalité est vérifiée. On la note I₁
Or par définition
Donc I₁ est équivalent à , qu'on note I₂.

Or d'après la question précédente, on sait que (Appelons ça I₃)

Ce qui veut dire que si j'arrive à montrer que (I₄) est vérifiée, ça voudra bien dire que I₁ est vraie, puisque est lui même plus grand que .

On est dans un cas où on veut montrer que (I₁ ici) parce que (I₃) et que . Avec :




Tu as déjà démontré I₃ à la question d'avant, donc il ne reste plus qu'à montrer I₄.
Est-ce plus clair dans la démarche ?

[invite315879ac]

Oui ! Je comprends mieux, merci pour ces précieuses explications !
Concernant la suite de la question, j'ai choisi de majorer Un-1 avec Un, que l'on peut remplacer par n+ (Uo/2^n) ( c'est la propriété Pn de la 2.(b).
En ce qui concerne le minorant, je pensais prendre 0 mais cela n'est pas du tout la bonne méthode pour trouver la limite avec le théorème des gendarmes, Un-2 est-il un possible minorant ? si oui comment dois-je faire pour déterminer sa limite en + infini, étant donné qu'il n'a pas d'expression "propre" ?

[FARfadet00]

Je ne vois pas pourquoi tu ne pourrais pas prendre 0 comme borne inférieure. Pour la borne inférieure, oui, mais attention tu cherches la convergence de , n'oublie pas de faire ce qu'il faut pour avoir le n² au dénominateur

[PlaneteF]

Bonjour,

Concernant la suite de la question, j'ai choisi de majorer Un-1 avec Un, ...

Et en vertu de quoi fais-tu cela ?

Cordialement

[FARfadet00]

Ouhla oui effectivement, j'ai lu trop vite ce que tu proposais, Alex.

Tu ne peux pas majorer U_n-1 par U_n sans avoir montré que U_n-1 est inférieur à U_n pour tout n.
Tu n'as pas besoin de ça pour répondre à la dernière question. Il suffit de se baser sur ce que tu viens de démontrer juste avant.

[invite315879ac]

En fait je dis des bêtises parce qu'il faut prendre 0 justement ! j'ai mal lu la consigne

Planetef : j'ai choisi Un car c'est une valeur supérieure à Un-1 ,de plus, nous avons une expression de Un. Si cela est faux, as-tu des conseils à me donner pour choisir le minorant et le majorant dans le cas du théorème des gendarmes ? Ce serait sympa ! merci
EDIT : je dois montrer que Un-1 est inférieur à Un ?
C'est à dire ? je viens de démontrer que Un est inférieur ou égal à n+ (Uo/2^n)

[PlaneteF]

Planetef : j'ai choisi Un car c'est une valeur supérieure à Un-1 ,

... Ah bon ?! ... Et tu tiens cela d'où ??

[FARfadet00]

je dois montrer que Un-1 est inférieur à Un ?

Non pas besoin. Utilise ce que tu as démontré juste avant ...

Avec ça, tu isoles . Tu obtiens une borne supérieure, dont tu calcules la limite. Ne reste qu'à utiliser le théorème des gendarmes.

[invite315879ac]

Donc j'isole avec Un= dans l'expression que j'ai démontré juste avant, j'ajoute un carré pour enlever la racine, je retrouve ce carré sur le n de l'autre coté, puis je divise par n² pour retomber sur l'expression ? (grosso modo)

[FARfadet00]

Oui, c'est l'idée. Il faut bien préciser que n ne vaut pas zéro pour pouvoir diviser par n²

[PlaneteF]

Donc j'isole avec Un= dans l'expression que j'ai démontré juste avant, j'ajoute un carré pour enlever la racine, je retrouve ce carré sur le n de l'autre coté, puis je divise par n² pour retomber sur l'expression ? (grosso modo)

C'est beaucoup plus simple que cela, ... tu as démontré auparavant que :

Ce qui te permet d'écrire :



Et du coup en prenant cette dernière inégalité c'est quasi fini !


Cdt

[invite315879ac]

Je trouve

EDIT : effectivement ça évite un long calcul et les possibles erreurs, merci de ton aide planeteF

[PlaneteF]

Je trouve

As-tu lu mon dernier message ?

[invite315879ac]

Oui, j'ai modifié mon message.