besoin d'aide devoir type bac sur les suites

[invite69284b48]

bonsoir voilà j'ai un exercice à faire mais je bloque sur certaines questions pouvez vous m'aider s'ils vous plait. en vous remercient d'avance.

Lors d'un jeu, Marc doit répondre à la question suivante :
« le premier jour, nous vous offrons 100 euro puis chaque jour suivant, nous vous offrons 5% de plus que la veille et une somme fixe de 20 euro.
Au bout de combien de jours aurez-vous gagner 10 000 euro?»

nous allons voir comment on peut aider Marc à répondre à cette question.

1)pour tout entier naturel n non nul, on note U_n le montant total en euros versé à Marc le n-ième jour. Ainsi,

U₁=100.

a)Calculer U₂

b)justifier que pour tout entier naturel n non nul
U_n+1=1,05U_n+20.

2)Pour tout entier naturel n non nul, on pose V_n=U_n+400

a)calculer V1.

b)Démontrez que la suite (V_n) est une suite géométrique et précisez la raison.

c)Exprimez V_n en fonction de n puis en déduire que Un=500*(1,05)^n-1 -400.

d)déterminez en fonction de n, la somme V1+V2+..........+V_n puis la somme U₁+U₂+...U_n

3)quelle réponse doit donner Marc ?


Voici mes réponses

1-a)
U1=100
donc
U2=U1*1,05+20
U2=100*1,05+20
U2=125

b) je ne vois pas ce que l'on cherche à me faire dire

2)
V_n=U_n+400 et U_n+1=1,05Un+20

V1=U1+400
V1=100+400=500

b)

Vn=Un+400
donc
Vn+1=Un+1 +400
Vn+1=1,05Un+20 +400
Vn+1=1,05Un+420
Vn+1=1,05(Un+400)
Vn+1=1,05Vn
par suite (Vn) est une suite géométrique de raison 1,05 et

c)Vn=500*(1,05)^n-1
et par suite
Un=500*(1,05)^n-1- 400
donc
U_n=V_n-400

et je me suis arrêtée à là je vous remercie d'avance de votre aide je n'arrive pas à répondre à la question 1b et surtout la question 2d même avec la formule du cour.
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[invite6919e4bc]

Hello,

la réponse 1)b) apparament tu l'as trouvée puisque tu as fait la question 1)a), là c'est juste la généralisation pour tout n : en gros c'est la traduction de l'énoncé en terme de suites (Un+1=Un+(5/100)Un+20).
Tu connais la formule de la somme de n termes d'une suite géométrique ? En gros V1+V2+...+Vn=V1*(1-q^n)/(1-q) avec q la raison. Ensuite il te suffit d'exprimer U1+U2+...+Un en fonction de V1+V2+...+Vn (en utilisant Un=Vn-400).

[invite69284b48]

d'accord je fait le calcule puis je le poste pour que vous voyez si c'est juste ou pas

[invite69284b48]

je trouve

somme de V_n= 500 * 1- 1,05ⁿ / 1- 1,05 = 250ⁿ / 0,5

et somme U_n= 100* 1- 1,05ⁿ / 1- 1,05 = 50ⁿ / 0,5

j'ai vraiment du mal avec cette question je sais déjà que c'est pas vrai ce que j'ai fait mais j'essaie quand même

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite621f0bb4]

Pour Vn, tu as fait des raccourcis un peu hâtifs (je te conseille par ailleurs de laisser la première forme que tu trouves qui est un peu plus compliquée mais avec laquelle tu as moins de chance de te tromper).

Sinon, ta première somme de Vn est correcte.
En ce qui concerne celle de Un, ce n'est pas bon en effet. (Mais c'est très bien d'essayer !)

Sachant qu'on peut écrire Un sous la forme :
Un = Vn - 400.
Que remarques-tu ?
Normalement, que tu as une suite géométrique à laquelle on retire une constante.
A toi d'en déduire la somme de Un. (C'est plus du raisonnement qu'une application de formule je trouve).

[invite69284b48]

U_n=V_n-400

donc somme U_n=somme V_n-400

donc somme U_n=250_n / 0,5 -400 donc U_n= 250ⁿ - 200 / 0,5

et pourquoi vous dites que j'ai "fait des raccourcis un peu hâtifs"

[invite621f0bb4]

(Je te propose de me tutoyer, on doit avoir le même âge à quelques semaines près ^^)

Tu as fait des raccourcis parce que les calculs de puissance sont prioritaires sur les calculs de produits (les multiplications en gros)
Donc tu ne peux pas calculer 1-1.05^n par exemple.
Donc autant garder la première forme que tu as trouvée de la somme de Vn, ça te fera un peu plus à écrire mais ça sera plus simple.

[invite69284b48]

d'accord


somme V_n= 500* 1-1,05ⁿ / 1-1,05 = 500-0,5ⁿ * 1/0,5

500-0,5ⁿ * 1/0,5=0
1/0,5 * (-0,5ⁿ+500)=0

= 2(-0,5ⁿ+500)
1000-n=0
-n=-1000
n=1000

donc somme U_n=1000-400=600
c'est bien ça?

[invite621f0bb4]

Non non, j'ai du mal à comprendre ce que tu as fait d'ailleurs...

Tu as Somme de Un = somme de Vn + 400

Or, comme on a n terme dans la suite, ça signifie quoi en réalité ?
Qu'on a la somme des n premiers termes de Vn à la quelle on ajoute 400 à chaque fois.
Soit pour somme à n = 1, on ajoute 400, pour somme à n = 2 on ajoute 800 etc...

Bon là, je t'ai clairement donné la réponse, mais il faut que tu comprennes bien pourquoi on fait ça.

[invite69284b48]

je suis pas du genre à recopier bêtement sans rien comprendre

et là je te comprends pas désolé

[invite69284b48]

et U_n=V_n - 400

ET V_n=Un + 400

[invite621f0bb4]

J'écris S pour somme de U_n.
Tu as :
S₁ = S_v1 +400
S₂ = S_v2 +400
S₃ = S_v3 +400
.
.
.
S_n = S_vn +400

Tu comprends mieux quand tu lis ça ?
Tu as bien la somme de Un = somme de Vn + combien de fois 400 à ton avis ?

[invite69284b48]

oui je vois ce que tu veux dire mais en quoi la réponse est fausse je vois toujours pas
DÉSOLÉ