Wreath product de 3 groupes symetriques et représentation naturelle

[invitea47ed71f]

Bonjour,

Je dois décomposer en irréductibles la représentation naturelle du wreath pdt de groupes symétriques .
C'est la représentation de permutations , où agit sur chaque par permutation, le premier échange au sein des couples premier/deuxième et troisième/quatrième et le second échange les couples premier/deuxième et troisième/quatrième . (j’espère que c'est clair, c'est pour moi "la représentation naturelle" du wreath pdt, je peux essayer d'être plus explicite).
Je pense avoir trouvé, mais comme c'est tout nouveau pour moi, je ne suis pas sur à 100%. Si qq'un qui avait l'habitude de ce genre de choses pouvait confirmer que je ne me trompe pas, ce serait sympa.

Déjà, se décompose en , V étant la représentation standard.

Ensuite, se décompose en 3 irrep: .
agit trivialement sur .
agit sur chacun des blocs et échange les deux blocs.
Même chose pour .

En particulier, on ne rencontre pas (et ça reste vrai quand on change les valeurs 3 et 2) de représentation du type où, en plus de l'action précédente, s est la representation signature de : dans ce cas, en plus d’échanger les blocs, changerait le signe. (dans un cas plus général, quand 2 devient p, on ne rencontrera jamais de "" où est une représentation de ).


Pour l’étape suivante, l'espace total se décompose en:
.
La encore, pas de pdt tensoriel avec la représentation signature de .


Merci!
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[invitea47ed71f]

Je ne comprend pas pourquoi une partie de mon code latex a disparu?

Enfin la première est: ((R3*R3)*(R3*R3))*((R3*R3)*(R3 *R3))

Et la seconde (V*V)*s.

Pas de pro du wreath product pour répondre à ma question (sans doute assez basique, pour qui à l'habitude)?

[invitea47ed71f]

Je me rends compte que c'est faux... je relance plus tard.

[invitea47ed71f]

Voila, maintenant je suis plus sûr de moi, dsl j'ai posté un peu tôt.

Je cherche à décomposer la représentation primitive [S2] de la représentation imprimitive [S2] de la représentation naturelle [S3].

C'est en réalité

On a toujours sous l'action de .
Sous l'action de , se décompose en avec:

-sur , agit sur chaque t, et échange les t et agit sur s₂ (representation signature)
-sur , agit sur t et echange et

(W1 et W2 viennent des deux représentations triviales de S3 presentes dans , que l'on recombine à 45°)


Ensuite, l'espace entier se décompose en:





Pour généraliser, je vois très bien comment faire la deuxième étape.
Par contre, pour la première, ce n'est pas encore complétement clair pour moi...

Sous l'action de , se décomposera toujours en ou , , sont les représentations triviales/ standard de et ?

Ca me semble etre la généralisation logique, qui marche bien avec les dimensions (c'est déjà ça )


Merci pour les éventuelles réponses... !

[A voir en vidéo sur Futura]