Corps et classe d'équivalence

[invite9910ee8d]

Bonsoir,
notre professeur de mathématiques a décidé de nous surprendre un peu en nous montrant que des corps peuvent avoir des caractéristiques peu habituelles. Pour cela il a pris l'exemple d'un corps de seulement 2 éléments, définis comme l'ensemble quotient: Z/~ tel que x~y si et seulement si x-y est pair. Ainsi nous obtenons deux classes d'équivalence, les nombres pairs et impairs, satisfaisant les propriétés d'un corps. Cependant ce que je ne comprends pas, c'est la différence entre ce corps, et l'ensemble des entiers relatifs (Z), car pour moi les classes d'équivalence des nombres impairs et pairs représentent finalement l'ensemble Z... Est-ce parce que cet ensemble est l'ensemble constitué de l'ensemble des nombres pairs et l'ensemble des nombres impairs; et non pas l'ensemble des nombres pairs et impairs tout simplement ? Si quelqu'un pouvait m'éclairer sur le sujet, je lui en serai très reconnaissant.
Cordialement,
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[Resartus]

Il faut relire ce qu'est un ensemble quotient. Il n'y a que deux éléments dans l'ensemble quotient, et ces éléments ne sont pas des nombres, mais des classes d'équivalence.
Pour se faciliter la vie, il arrive qu'on baptise chaque classe du nom d'un des nombres qui appartient à cette classe, par exemple parler de '0' pour la classe à laquelle appartient le nombre 0 et tous les nombres pairs et '1', pour la classe de 1 et des nombres impairs, mais la classe de 1 n'est pas le nombre 1
et n'est pas non plus l'ensemble 1,3, 5,7...

[invite9910ee8d]

J'essaye de faire la nuance mais c'est justement la définition qui me pose problème, d'après les livres, une classe d'equivalence de x dans E est l'ensemble des éléments de E étant en relation avec x... Ainsi pour moi une classe d'équivalence de 0 par exemple est bien l'ensemble des nombres pairs...

[Médiat]

J'essaye de faire la nuance mais c'est justement la définition qui me pose problème, d'après les livres, une classe d'equivalence de x dans E est l'ensemble des éléments de E étant en relation avec x... Ainsi pour moi une classe d'équivalence de 0 par exemple est bien l'ensemble des nombres pairs...

Bonjour,
Oui, c'est bien cela, et ce n'est pas contradictoire avec l'intervention de Resartus ; par contre vous auriez dû écrire "LA classe d'équivalence de 0"

[A voir en vidéo sur Futura]

[pm42]

Ainsi pour moi une classe d'équivalence de 0 par exemple est bien l'ensemble des nombres pairs...

Pour ajouter aux explications claires déjà données, quand tu fais une opération, tu la fais "sur toute la classe d'équivalence" en quelque sorte. On arrête de distinguer les éléments qui la compose entre eux.

Tu le fais déjà sans t'en rendre compte pour les mesures d'angle par ex : dans ta tête -90° et 270°, c'est pareil et tu vas passer de l'un à l'autre, etc. C'est parce que tu utilises R/360 pour mesurer les angles.

[Resartus]

Peut-être une analogie vous aidera. Si on a des chaussettes noires et rouges, la classe d'équivalence des chaussettes rouges est la couleur rouge, pas l'ensemble des chaussettes rouges, ni une chaussette rouge particulière

[Resartus]

ou alors, dit autrement, la classe est la boite qui contient toutes les chaussettes rouges, mais on manipule la boite sans l'ouvrir. et en ne considérant que sa couleur

[gg0]

Rectification, Resartus :

La classe d'équivalence d'une chaussette rouge est l'ensemble des chaussettes rouges. Pas la couleur.
par contre l'idée de la boite est bien correcte, sauf qu'en maths, les boites sont idéales, pas concrètes. Donc même si les chaussettes sont mélangées, l'ensemble des chaussettes rouges est bien défini (pour une chaussette données, on sait si elle en fait partie ou pas).

Cordialement.

[gg0]

Pour MattLC3 :

J'appelle P l'ensemble des nombres pairs, et I celui des impairs. L'ensemble {P,I} n'a rien à voir avec l'ensemble des entiers (il n'a que deux éléments, qui ne sont même pas des entiers). mais on peut le munir de deux lois qui en font un corps, je les note ++ et xx et je les définis par
P++P=P
P++I=I++P=I
I++I=P
PxxP=PxxI=IxxP=P
IxxI=I.
Je te laisse vérifier que ça donne un corps, dont P et I sont les deux éléments neutres.

On pourrait aussi inverser les lettres P et I dans cette définition, ce qui donne une corps quasi identique (isomorphe, il n'y a que les noms des éléments qui changent), mais on perdrait alors une propriété souvent utile (en maths) : Si a et b sont deux entiers, et |n| est la notation pour définir la classe de parité de n (|5|=I; |258|=P), alors:
|a|++|b|=|a+b| et |a|xx|b|=|ab|
comme tu t'en es sans doute rendu compte en lisant mes définitions d'opérations.

Cordialement.

NB : attention aux idées floues : "pour moi les classes d'équivalence des nombres impairs et pairs représentent finalement l'ensemble Z"; "représentent" n'a pas de sens mathématique. Si tu choisis un bon mot mathématique, tu vas t'apercevoir que tu "penses flou"; que la situation est plus simple, finalement.

[minushabens]

Rectification, Resartus :

La classe d'équivalence d'une chaussette rouge est l'ensemble des chaussettes rouges. Pas la couleur.

Ca dépend du point de vue. Tu as un point de vue constructiviste et Resartus un point de vue plus catégorique.

[Médiat]

Bonjour,

En fait il y a un risque d'ambiguïté dans le vocabulaire La classe de x pouvant être :

1) Soit l'ensemble des éléments équivalents à x (c'est donc un sous-ensemble de l'ensemble de départ (les chaussettes rouges))
2) Soit l'image de x dans la surjection canonique de l'ensemble vers l'ensemble quotient (c'est donc un élément de cet ensemble quotient (le rouge))

Comme le dit minushabens, c'est une question de point de vue, puisque fondamentalement c'est le même objet.

[gg0]

Désolé,

mais je ne comprends pas en quoi "le rouge" désigne un élément de l'ensemble quotient. Il s'agit d'une qualité commune, pas d'un objet. Et l'ensemble quotient est bien celui que je désignais (dans le cas initial), non ? Je ne connais pas assez la théorie des catégories pour savoir ce qui s'y fait. Mais j'ai du mal à saisir pourquoi l'image par le surjection est autre chose que le sous ensemble de l'ensemble de départ.

Plus fondamentalement, il me semble que MattLC3 découvre les notions mathématiques de base, et je serais très étonné que ce soit fait par les notions catégoriques. Il a donc besoin de saisir vraiment ce qu'est l'ensemble quotient. Sans rester dans des analogies.

Cordialement.

[pm42]

mais je ne comprends pas en quoi "le rouge" désigne un élément de l'ensemble quotient. Il s'agit d'une qualité commune, pas d'un objet..

Le post disait "si on a des chaussettes rouges et des chaussettes noires". Il se plaçait donc dans un espace limité où ce qui distingue les chaussettes est l'une des 2 couleurs.
A partir de là, dire qu'on a l'espace quotient de rouges est légitime.
C'est exactement la même chose que pour les nombres dans N quand on sépare en pair et impairs. On n'éprouve pas le besoin de préciser en permanence qu'on n'est pas dans un espace plus vaste...

[Médiat]

Je vais me laisser aller à un peu de cuistrerie, mais Platon distinguait le "Un" (le rouge, considéré comme un élément de l'ensemble quotient) et le "Multiple" (les chaussettes rouges, considérées comme sous-ensemble de l'ensemble des chaussettes), ce qui est une façon de faire émerger un concept.

Et il s'agit bien d'un objet, dans l'ensemble quotient (qui en contient 2, quelque soit le nombre de chaussettes au départ).

[gg0]

Dans ce sens-là, OK.

Je n'avais pas compris cette façon de voir. Qui laisse dans l'ombre la question : "quel est cet objet, le rouge ?"
J'ai du mal à ne pas vouloir définir ce dont on parle en termes de ce qui est connu.

Cordialement.

[Médiat]

C'est justement l'intérêt des ensembles quotients que de faire émerger de nouveaux concepts à partir d'anciens (le rouge à partir de chaussettes)

[gg0]

Pour moi,

un ensemble quotient est parfaitement défini comme un ensemble de sous-ensembles (en fait une partition) de celui qu'on quotiente. Je ne connais pas d'autre définition. Ce qui permet d'éviter le flou, du genre la notion "le rouge". mais je suis intéressé par une définition différente qui définirait directement l'ensemble quotient, indépendamment des classes, qui apparaissent alors simplement comme "les éléments de l'ensemble quotient".

Cordialement.

NB : Il est possible que je date, j'ai appris ces notions (relation d'équivalence, classes, quotient, ...) il y a 50 ans. Puis je les ai enseignées en lycée quelques années après.

[invite47ecce17]

Bonjour,
En fait la notion de quotient, et d'ensemble quotient est définie à bijection canonique pres. Si E est un ensemble et R une relation d'equivalence sur E, alors un quotient E/R est un ensemble, Q, muni d'une application p:E->Q qui respecte R (i.e p(x)=p(y) des que xRy), telle que si T est un ensemble quelconque et f:E->T est une application qui respecte R (i.e f(x)=f(y) des que xRy), alors f se factorise de manière unique à travers Q.

Le quotient est en fait unique au sens suivant, si (Q, p) et (Q', p') sont deux quotients E/R, alors il existe un unique bijection h:Q->Q' telle que hop=p' . On peut donc identifier Q et Q' et parler du quotient.

La construction ensembliste de Q comme ensemble des classes de E pour R donne un choix possible pour Q, et donc prouve qu'il existe. Maintenant dans la patique, le fait que Q soit les classes de R ne sert jamais (et honnetement je trouve que cette presentation donnée aux etudiants les induits le plus souvent en erreur qu'autre chose) et ce qu'on utilise c'est ce que j'ai dit plus haut.

Dans ce sens là, couleur: Chaussettes rouges ou bleues ->{rouge, bleu} est le Quotient de l'ensemble des chaussettes par la relation de couleur. Au meme titre d'ailleurs que cl: Chaussettes rouges ou bleues -> {{Chaussettes rouges},{Chaussettes bleues}}. Ce sont le "meme ensemble" véritablement.

[Médiat]

un ensemble quotient est parfaitement défini comme un ensemble de sous-ensembles (en fait une partition) de celui qu'on quotiente.

Je n'ai pas écrit le contraire

Je ne connais pas d'autre définition. Ce qui permet d'éviter le flou, du genre la notion "le rouge".

Mais il n'y a absolument aucun flou, le quotient, parfaitement défini, permet justement de parler "du rouge".

Je ne pense pas que chaque fois que vous devez résoudre une équation trigonométrique, vous envisagiez un sous-ensemble de suites de Cauchy de rationnels (pas forcément facile à définir exhaustivement), mais vraisemblablement ou utilisez

[gg0]

Médiat :

Je n'ai pas écrit le contraire

Alors quel est le risque dont tu parles au message #11 ? Puisque dans les deux cas, c'est la même chose dont on parle ?
C'est bien à cause de ce message que j'ai posé mes questions de béotien. Car je n'ai aucun scrupule à utiliser des classes d'équivalence depuis 50 ans.

[Médiat]

Reprenez l'exemple de la classe de certaines suites de Cauchy et de pi, bien que ce soit la même chose (ce que j'ai déjà écrit dans le message #11), on se place dans des perspectives différentes (le Un ou le Multiple)