Système dynamique et point col

[invite6b9fb70e]

Bonjour,
J'ai un problème car je ne comprend pas trop la définition du "point col". Le professeur nous a expliqué (de ce que j'ai compris) que pour savoir si, en un point, une fonction était hyperbolique ou elliptique il fallait faire sa dérivée seconde et appliquer une formule (1/2(A^2.(dx)+2b(dy.dx)+ c^2.dy) avec A, B et C les dérivées partielles de la fonction f. Le problème est que maintenant je ne comprend pas ce qu'est un "point col" au niveau des calculs. Comment calculer un point col (je sais que il y a une histoire de 0;0)? Est-il possible de calculer un point col si f est hyperbolique, ou elliptique ?
Merci d'avance.
Archimede-001
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[Resartus]

La formule est fausse. Cela doit être 1/2(Adx²+2Bdxdy+Cdy²). Cela donne la variation de la fonction au voisinage d'un point où les dérivées premières sont nulles (développement au 2nd ordre en dx, dy), avec A=d²f/dx², B=d²f/(dxdy), C=d²f/dy²
Pour savoir quel type d'extremum c'est, on calcule le discriminant réduit B²-AC. S'il est négatif (pas de racine réelle), c'est elliptique. S'il est positif, c'est hyperbolique (col).
On peut retrouver également les rayons de courbure principaux en faisant un peu de calcul matriciel (valeurs propres et vecteurs propres) sur la matrice symétrique :
A B
B C