Espace cotangent

[invitecbade190]

Bonjour à tous,

Je cherche à comprendre le paragraphe suivant, qui doit être simple et accessible à tout un chacun, néanmoins, mon cerveau est complètement rouillé ces derniers temps, c'est pourquoi je vous prie de m'aider :

Voici ce que dit ce paragraphe :

Soit une variété lisse réelle de dimension . Soit et soit l'espace tangent de en .
Soit l'anneau des germes de fonctions lisses autour de , et soit son idéal maximal.
Une dérivation donne naissance à une application : qui, à une fonction lisse associe sa dérivation .
Puisque, , cette application donne naissance à une forme - linéaire . Cette application est clairement injective.

Mes questions sont les suivantes :

- Pourquoi : induit une forme - linéaire . Je sais qu'on applique là la propriété universelle des espaces quotient, mais ce que je ne comprends pas, est pourquoi l'image de par : est nulle.

- Pourquoi : est injective ?

Merci d'avance.
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[invitecbade190]

Pour la première question :
pour tout
Par conséquent : . C'est à dire : .
D'où le résultat.

Pouvez vous m'aider pour la seconde question svp ?

Merci d'avance.

[invitecbade190]

Soient deux vecteurs de tels que : .
Alors, : .
C'est à dire :
C'est à dire : car, . ( Le diagramme de factorisation commute )
Par conséquent :
D'où est injective.
Non ?