Les primitives (questions diverses)

[invited5e782d8]

Bonjour,
Je suis un étudiant en première année de prépa MPSI, et j'aurai besoin de quelques conseils sur les primitives.

1. Intégrale de 0 à 1 ( Im ( e ^ ((4+3i) u) du )) = Im (Intégrale de 0 à 1 ( e ^ ((4+3i) u ) du).
J'aimerai comprendre pourquoi cette égalité est vraie. Une représentation graphique me serait la bienvenue.
Pistes personnelles : J'ai essayé de me représenté la fonction de R dans C (il me semble) x --> e ^ ((4+3i) x). Il me semble que j'obtiens une droite dans l'espace. Comment obtenir l'air sous la courbe d'un objet dans l'espace ? Il faudrait trouver un plan qui contient cette droite ? Dans ce cas comment faire pour des objets qui ne peuvent pas être contenu dans un plan unique ?
Par ailleurs, je ne vois pas ce que pourrait être la partie imaginaire d'une aire sous la courbe...
Il se pourrait que j'aille un peu loin, et qu'il ne s'agisse que d'une technique algébrique. Cependant, cette technique ne met pas naturelle et je ne la fait pas confiance. Je compte sur vous pour me faire changer d'avis !

2. J'aimerai savoir ou se trouve mon erreur : Intégrale de 0 à 1 ( tan (u) du ) = intégrale de 0 à arctan1 ( t / (1+t²) dt ) = ln (1 + (pi/4)² ) *1/2)

3. Intégrale de sh 0 à sh (ln (1+ sqrt 2)) ( 1 / (sqrt 1 + u² ) du ) = Intégrale de 0 à ln (1+ sqrt2 ) ( sh' (t) / ch (t) dt ). Est-ce que cette égalité est vraie Uniquement parce que sh est bijective ?
Est-ce que le résultat de l'intégrale (à peu près) identique à celle-ci avec les bornes allant de 0 à x est : (sh ^ -1) (x) ?

Je vous remercie par avance de vos réponses.
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[gg0]

Bonsoir.

1) C'est la définition de l'intégrale d'une fonction complexe de la variable réelle :


2) confusion avec les formules en t. Si tu veux avoir la fraction en t, il faut prendre t=tan(u/2). Mais tan(u) s'intègre directement car c'est une fraction de la forme U'/U au signe près.

3) A priori, pas besoin de bijectivité, c'est la formule qui est vraie dès que f admet des primitives (revenir à la définition des intégrales par les primitives).

Cordialement.

NB : sauf erreur de lecture de ton message.

[gg0]

En complément pour le 1 : Il faut éviter de chercher à donner une image de la notion d'intégrale. Une intégrale est un nombre obtenu d'une certaine façon, et qui peut servir à différents propos. Rien à voir avec la notion d'aire, même si on peut calculer des aires avec des intégrales : Ne pas confondre le voyage et le vélo ou le train qui permet de voyager.

[invited5e782d8]

Bonjour.
Merci pour vos réponses.

1. Ok, j'ai compris.

2. Ok pour l'intégration directe. J'ai aussi repéré mon erreur. Mon idée était de poser u = arctan t, et après correction de mon erreur ( t = tan u et non t = arctan u) , je retombe bien sur mes pas.
Je ne vois pas bien où vous voulez m'emmener en poser t = tan (u/2)..?

3. Je coince pour les bornes de l'intégrale. Dans mon exemple, d'une intégrale à l'autre, la borne supérieure passe de sh ( ln ( 1 + sqrt 2 )) lorsque la variable est u, à ln (1 + sqrt 2) lorsque la variable est t. Pour modifier ces bornes, n'a t-il pas fallu faire t = (sh -1) (u) ?

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

2) formules en t : tan x= 2t/(1+t²). Mais peut-être faisais-tu tout autre chose que je ne pouvais pas comprendre : un calcul sans explication n'est parfois pas compréhensible.

3) Non, on fait u=sh t. Dans la formule que je cite, g n'a pas besoin d'être injective. Seulement définie sur [a,b]. Attention, on applique la formule de gauche à droite. Donc g doit aussi être dérivable.

[invited5e782d8]

Bonjour.

2. J'ai compris la technique que vous m'avez proposé. Du fait que je m'étais lancé dans une autre voie, et que j'ai trouvé une solution qui n'est pas la bonne, j'aimerai comprendre mon erreur.

Reprenons mon calcul :



Cordialement.

[gg0]

L'erreur est que la borne supérieure n'est pas arctan(x), mais tan(x).

Cordialement.

[invited5e782d8]

Très bien. Merci pour tout !