Décomposition LU

[maxime10]

Bonjour à tous,

En fait j'ai un petit problème ; j'obtiens toujours une matrice triangulaire inférieur (L) et une triangulaire supérieur (U). Mon soucis c'est que quand je pars d'une matrice A qcq ,et que j'effectue cette décomposition , j'obtiens un résultat qui est correct car A=LU est vérifier , sauf que qu'en je résous à la calculette, elle me donne toujours un matrice L,U différente de mes résultats mais dont le produit L*U vaut aussi A. Avez-vous une explication ? De plus quand je demande à la calculette d'effectuer cette décomposition LU , elle utilise souvent une matrice P ou P est une matrice de permutation et où P*L*U=A.
De plus, je ne sais pas vraiment à quoi sert cette matrice (p) car le cours est en anglais et j'ai surement du mal comprendre cette partie.

Par exemple ;

Si A = 1 2 0
-1 3 0
6 -2 -1

Si je procède par identification, j'obtiens le système ;

1 2 0 ) (1 0 0) ( a b c)
-1 3 0 ) = (x 1 0 ) * (0 d e ) où ma première matrice est A mise sous forme L*U
6 -2 -1 ) ( y z 1 ) (0 0 f)

1=a
2=b
0=c
-1=xa et x=-1
3=xb+d et d=5
0=xc+e et e=0
6=ya et y=6
-2=yb+zd et z=-14/5
-1=yc+ze+f et f=-1

J'obtiens toute les valeurs de a à f et aussi x,y,z en résolvant le système.

J'ai donc :

1 2 0) ( 1 0 0) ( 1 2 0)
-1 3 0) = (-1 1 0 ) * (0 5 0 ) où ma première matrice est A mise sous forme L*U
6 -2 -1 ) (6 -14/5 1) (0 0 -1)


Le problème c'est que ma calculette (Ti N-Spire CX Cas) me donne autre chose :


1 2 0 ) ( 0 0 1 ) ( 1 0 0) ( 6 -2 -1)
-1 3 0 ) = (0 1 0 ) * (-1/6 1 0 ) * (0 8/3 -1/6)
6 -2 -1 ) (1 0 0) (1/6 7/8 1 ) ( 0 0 5/16)



Pourriez-vous m'expliquer ? La méthode que j'utilise est-elle fausse ?

Merci d'avance,

Maxime 10


PS: Désolé pour l'affichage des matrices , je ne sais pas comment faire mieux :/ Ce sont donc toutes des matrices 3x3.
Si quelqu'un connait la méthode je modifie directement.
-----

[stefjm]

PS: Désolé pour l'affichage des matrices , je ne sais pas comment faire mieux :/ Ce sont donc toutes des matrices 3x3.
Si quelqu'un connait la méthode je modifie directement.
Si A = 1 2 0
-1 3 0
6 -2 -1

Comme ça en mettant les balises TEX sans espaces:

[ T E X ]A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\-1 & 3 & 0 \\ 6 & -2 & -1 \end{pmatrix}[ / T E X ]

qui donne



Vous pouvez répondre à votre sujet avec citation pour récupérer le source et insérer les balises adéquates.
Cordialement.

[maxime10]

Bonjour à tous,

En fait j'ai un petit problème ; j'obtiens toujours une matrice triangulaire inférieur (L) et une triangulaire supérieur (U). Mon soucis c'est que quand je pars d'une matrice A qcq ,et que j'effectue cette décomposition , j'obtiens un résultat qui est correct car A=LU est vérifier , sauf que qu'en je résous à la calculette, elle me donne toujours un matrice L,U différente de mes résultats mais dont le produit L*U vaut aussi A. Avez-vous une explication ? De plus quand je demande à la calculette d'effectuer cette décomposition LU , elle utilise souvent une matrice P ou P est une matrice de permutation et où P*L*U=A.
De plus, je ne sais pas vraiment à quoi sert cette matrice (p) car le cours est en anglais et j'ai surement du mal comprendre cette partie.

Par exemple ;

Si A = 1 2 0
-1 3 0
6 -2 -1

Si je procède par identification, j'obtiens le système ;

1 2 0 ) (1 0 0) ( a b c)
-1 3 0 ) = (x 1 0 ) * (0 d e ) où ma première matrice est A mise sous forme L*U
6 -2 -1 ) ( y z 1 ) (0 0 f)

1=a
2=b
0=c
-1=xa et x=-1
3=xb+d et d=5
0=xc+e et e=0
6=ya et y=6
-2=yb+zd et z=-14/5
-1=yc+ze+f et f=-1

J'obtiens toute les valeurs de a à f et aussi x,y,z en résolvant le système.

J'ai donc :

1 2 0) ( 1 0 0) ( 1 2 0)
-1 3 0) = (-1 1 0 ) * (0 5 0 ) où ma première matrice est A mise sous forme L*U
6 -2 -1 ) (6 -14/5 1) (0 0 -1)


Le problème c'est que ma calculette (Ti N-Spire CX Cas) me donne autre chose :


1 2 0 ) ( 0 0 1 ) ( 1 0 0) ( 6 -2 -1)
-1 3 0 ) = (0 1 0 ) * (-1/6 1 0 ) * (0 8/3 -1/6)
6 -2 -1 ) (1 0 0) (1/6 7/8 1 ) ( 0 0 5/16)



Pourriez-vous m'expliquer ? La méthode que j'utilise est-elle fausse ?

Merci d'avance,

Maxime 10


PS: Désolé pour l'affichage des matrices , je ne sais pas comment faire mieux :/ Ce sont donc toutes des matrices 3x3.
Si quelqu'un connait la méthode je modifie directement.

En fait j'ai un petit problème ; j'obtiens toujours une matrice triangulaire inférieur (L) et une triangulaire supérieur (U). Mon soucis c'est que quand je pars d'une matrice A qcq ,et que j'effectue cette décomposition , j'obtiens un résultat qui est correct car A=LU est vérifier , sauf que qu'en je résous à la calculette, elle me donne toujours un matrice L,U différente de mes résultats mais dont le produit L*U vaut aussi A. Avez-vous une explication ? De plus quand je demande à la calculette d'effectuer cette décomposition LU , elle utilise souvent une matrice P ou P est une matrice de permutation et où P*L*U=A.
De plus, je ne sais pas vraiment à quoi sert cette matrice (p) car le cours est en anglais et j'ai surement du mal comprendre cette partie.

Par exemple ;

[ T E X ]A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\-1 & 3 & 0 \\ 6 & -2 & -1 \end{pmatrix}[ / T E X ]

Si je procède par identification, j'obtiens le système ;

[ T E X ]A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\-1 & 3 & 0 \\ 6 & -2 & -1 \end{pmatrix}[ / T E X ]=[ T E X ]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\x & 1 & 0 \\ y & z & 0 \end{pmatrix}[ / T E X ]*[ T E X ]\begin{pmatrix} a & b & c\\0 & d & e \\ 0 & 0 & f \end{pmatrix}[ / T E X ]

écrite sous la forme A=L*U

1=a
2=b
0=c
-1=xa et x=-1
3=xb+d et d=5
0=xc+e et e=0
6=ya et y=6
-2=yb+zd et z=-14/5
-1=yc+ze+f et f=-1

J'obtiens toute les valeurs de a à f et aussi x,y,z en résolvant le système.

J'ai donc :

[ T E X ]A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\-1 & 3 & 0 \\ 6 & -2 & -1 \end{pmatrix}[ / T E X ]=[ T E X ]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\-1 & 1 & 0 \\ 6 & -14/5 & 1 \end{pmatrix}[ / T E X ]*[ T E X ]\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}[ / T E X ]

Le problème c'est que ma calculette (Ti N-Spire CX Cas) me donne autre chose :

[ T E X ]A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\-1 & 3 & 0 \\ 6 & -2 & -1 \end{pmatrix}[ / T E X ]=[ T E X ]\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0 \\ 1 & -0 & 0 \end{pmatrix}[ / T E X ]*[ T E X ]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\-1/6 & 1 & 0 \\ 1/6 & 7/8 & 1 \end{pmatrix}[ / T E X ]*[ T E X ]\begin{pmatrix} 6 & -2 & -1\\0 & 8/3 & -1/6 \\ 0 & 0 & 5/16 \end{pmatrix}[ / T E X ]

écrite sous forme A=P*L*U


Pourriez-vous m'expliquer ? La méthode que j'utilise est-elle fausse ?

Merci d'avance,

Maxime 10

[maxime10]

Je ne comprends pas pourquoi ça ne fonctionne pas :/

[A voir en vidéo sur Futura]

[Resartus]

Dans certains cas, il se peut en effet qu'une permutation des coordonnées soit nécessaire pour permettre l'expression sous forme LU.
Mais on ne voit pas très bien pourquoi l'algorithme de votre calculette éprouve le besoin de le faire dans votre exemple.
Il s'agit peut-être d'une règle pour que les coefficients diagonaux de la matrice U soient dans l'ordre décroissant?

[Resartus]

Suite :
J'ai trouvé ceci :
http://www.lycee-pothier.com/LYCEE/p...10/Matrice.pdf

Dans lequel on explique que, pour maximiser la valeur du pivot partiel à chaque étape et réduire les erreurs de calcul, on utilise une matrice de permutation qui consiste à prendre dans chaque colonne la ligne de valeur absolue la plus grande. Dans votre exemple cela donne :
Etape 1 : ligne 3 (valeur 6)
Etape 2 : ligne 2 (valeur 3)
Etape 3 :ligne 1

[maxime10]

Merci beaucoup , je vais aller jeter un coup d’œil . Mais est-ce que ma résolution reste quand même correct ?
Donc le but de la matrice de permutation P serait juste afin d'avoir un pivot maximale. Je me souvient maintenant que dans mon cours de méthode d'analyse numérique on avait vu que lorsque que le pivot était proche de zéro , les erreurs de calcul augmentait. Merci beaucoup

[stefjm]

Balises TEX sans espace

En fait j'ai un petit problème ; j'obtiens toujours une matrice triangulaire inférieur (L) et une triangulaire supérieur (U). Mon soucis c'est que quand je pars d'une matrice A qcq ,et que j'effectue cette décomposition , j'obtiens un résultat qui est correct car A=LU est vérifier , sauf que qu'en je résous à la calculette, elle me donne toujours un matrice L,U différente de mes résultats mais dont le produit L*U vaut aussi A. Avez-vous une explication ? De plus quand je demande à la calculette d'effectuer cette décomposition LU , elle utilise souvent une matrice P ou P est une matrice de permutation et où P*L*U=A.
De plus, je ne sais pas vraiment à quoi sert cette matrice (p) car le cours est en anglais et j'ai surement du mal comprendre cette partie.

Par exemple ;



Si je procède par identification, j'obtiens le système ;



écrite sous la forme A=L*U

1=a
2=b
0=c
-1=xa et x=-1
3=xb+d et d=5
0=xc+e et e=0
6=ya et y=6
-2=yb+zd et z=-14/5
-1=yc+ze+f et f=-1

J'obtiens toute les valeurs de a à f et aussi x,y,z en résolvant le système.

J'ai donc :



Le problème c'est que ma calculette (Ti N-Spire CX Cas) me donne autre chose :



écrite sous forme A=P*L*U


Pourriez-vous m'expliquer ? La méthode que j'utilise est-elle fausse ?

Merci d'avance,

Maxime 10