décomposition LU

[invitef8bd6408]

Bonjour.

Je dois montrer que la décomposition LU est un difféomorphisme. Donc je dois montrer que l'application
x est un difféo où est l'ensemble des matrices triangulaire inférieure dont les éléments diagonaux sont égaux à 1, est l'ensemble des matrices triangulaire supérieur et est l'ensemble des matrices dont tous les mineurs principaux sont non nuls.
J'ai déjà montrer que l'application est une bijection. Je pensais pour montrer que c'est continu et que l'inverse de la fonction est également continu, je voulais utiliser le thm des fct inverses. Donc j'ai calculer la différentielle x et je dois montrer qu'elle est bijective et dans ce cas, j'aurais que ma fonction de départ est un difféo. Mais je n'y arrive pas. Pouvez-vous m'aider. merci.
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[invitea41c27c1]

Bonjour,
J'ai quelques pistes:
D'abord détermine les sous espaces tangents ( ne part pas de et ne va pas dans !!!).

Il y a deux possiblités :
- Soit tu montres l'injectivité de la différentielle par récurrence sur la taille des matrices.
- Soit tu prends les bases canoniques des espaces tangents et tu trouves un ordre sur les vecteurs de la base pour que la matrice de soit triangulaire.

Voilà.