Réduction

[invite83790921]

Bonjour,

J'ai un exo de réduction que je n'arrive pas, pouvez vous m'indiquez des pistes s'il vous plaît? Le voici:

on donne une matrice carré 2*2 notée
M=( a b
c d) diagonalisable

et une matrice d'ordre n diagonalisable notée A

Montrer que: la matrice 2n
[aA bA
cA dA] est diagonalisable.

le cas M=diag(e,f) est clair, et comme M semblable à une matrice diagonale on devrait pouvoir se ramener à ce première cas mais je ne vois pas comment.

Merci.
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[invite83790921]

J'oublie de préciser que j'aimerai évité les démonstrations trop calculatoire typiquement ici en posant P=(pij) matrice de passage pour M et faire pij'<--pij*In

[Resartus]

Le plus "visuel" et sans calculs est de trouver deux matrices de dimension 2n dont le produit fait la matrice cherchée.
Un petit indice : la deuxième est de la forme
A 0
0 A

[invitecbade190]

Salut,

Ta matrice est le produit de Kronecher de deux matrices diagonalisables :
Puisque et sont diagonalisables, alors on a : et
Alors,


Regarde ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_de_Kronecker

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite83790921]

Bonjour Resartus,

A est à priori non inversible donc P = (A 0 , 0 A) ne l'est pas non plus à fortiori , non?

Merci

[invite83790921]

Salut,

Ta matrice est le produit de Kronecher de deux matrices diagonalisables :
Puisque et sont diagonalisables, alors on a : et
Alors,


Regarde ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_de_Kronecker

Bonjour,

c'est très intéressant comme solution, on apprend tous les jours ^^.

Merci.