Longue droite et longue tube

[invite47ecce17]

Bonjour,
Un long tube est une reunion croissante de couronnes (dans R^2 une couronne est l'espace délimité par deux cercles concentriques homéo à S1x[0,1[) indexée par , l'ordinale sur la collection des ordinaux dénombrables.
Une (la) longue droite est une reunion croissante de segement [a,b[, indexée par .
La classification des longs tubes est, à ma conaissance, encore inconnue à ce jour. Mais le theoreme de la cornemuse dit que tout surface -bornée est homeomorphe à la réunion d'une surface compacte privée d'un nombre fini de disque ouvertes, recollées à autant de long tubes.

J'essaye de prouver que chaque long tube contient une longue droite, mais je n'y arrive pas. Est ce que qqun sait comment faire, ou connait une refrence sur le sujet ?
Merci.
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[Médiat]

Bonjour MiPaMa,

Une (au moins) chose m'échappe : chaque couronne contient bien des segments, pourquoi ne suffit-il pas d'en choisir un dans chaque couronne (avec ou sans axiome du choix ?) ?

[Resartus]

Tout dépend de ce que veut dire croissante pour les couronnes : si on a juste extérieur croissant, cela peut être faux

Si chaque couronne a une intersection non nulle avec la précédente, on doit pouvoir construire une longue droite en prolongeant à chaque fois le segment [a bn] vers un point bn+1 entre les deux couronnes successives (qui existe toujours si c'est strictement croissant)
Et si on demande que la longue droite appartienne entièrement au long tube, il faut en plus que chaque couronne soit incluse dans la suivante

[invite47ecce17]

Malheureusement, ca n'est pas aussi simple, a cause des ordinaux limites. La procédure de recollement est non triviale à ces endroits là.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite47ecce17]

Bon, apres plus ample recherche sur le net, il semblerait que ce soit une question encore ouverte... Mon directeur de these est décidément un farceur.

[minushabens]

Bon, apres plus ample recherche sur le net, il semblerait que ce soit une question encore ouverte... Mon directeur de these est décidément un farceur.

pas si farceur peut-être, après tout dans une thèse on est censé résoudre des problèmes ouverts.

[invite47ecce17]

Certes, mais là il m'a juste glissé au detour d'un mail que prouver ce truc "should not be all that easy".
Et attaquer un probleme reconnu comme ouvret bille en tete... mouais

[Médiat]

Si je pose, pour ,

1) pour un ordinal limite la couronne est comprise entre les rayons et , où
2) pour , la couronne est comprise entre les rayons et , où

Est-ce que cela définit un long tube ?

[invite47ecce17]

Je ne comprend pas vraiment comment vous faites votre réunion, en fait. J'ai l'impression que dans votre cas, le tube est simplement le disque épointé, ca n'est pas un long tube. Ou alors j'ai mal compris.

[Médiat]

Bonjour Miss,

Pour chaque ordinal , je définis une couronne (de centre (0, 0) et de rayon intérieur et de rayon extérieur 1, autrement dit c'est un cylindre dont on évide de plus en plus l'intérieur jusqu'à un ordinal limite (en gros : un cylindre infini - un cône, de telle sorte que l'on enlève jamais la surface du cylindre), puis on repart.

PS : ma question est surtout là pour me convaincre que j'ai bien ou mal compris la notion de long tube .

[invite47ecce17]

Chuis désolée, chuis un peu malade donc longue à la détente, mais si vous evidez de plus en plus, votre cylindre, la réunion ne sera pas croissante (une reunion croissante pour moi c'est une union de S_i pour i dans I un ensemble totalemet ordonnée avec S_i inclus dans S_j des que i inférieur à j).
Je posterai un construction precise des que j'ai un moment.

[Médiat]

Bonjour,


Je comprends mieux, c'est donc l'union d'une famille croissante (que l'union soit croissante est une évidence).

Mais dans ce cas, un segment se trouvant dans la première couronne se retrouve dans chacune des couronnes (la famille de segments serait croissante, même si pas strictement croissante) ...

Soignez-vous bien.