Fonction périodique et extremum global

[inviteacf85524]

Bonsoir, je voulais savoir si toute fonction continue et périodique sur R admettait au moins un extremum global sur R.

Merci d'avance
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[invitecbade190]

Salut :

Il me semble que la réponse est oui, et qu'il faut utiliser peut être le théorème de Rolle.

Cordialement.

[phys4]

Bonsoir,

Si la fonction est periodique, il est donc possible de considérer une seule période, c'est alors une fonction continue sur une intervalle borné. Dans ces conditions il existe au moins un extremum, et comme la fonction est périodique il est identique sur toutes les périodes.
Qu'en pensez vous ?

[invitecbade190]

Le théorème de Rolle ne s'applique malheureusement qu'aux fonctions dérivables, il existe des fonctions continues, mais nulle-part dérivables à ma connaissance, et donc, le théorème de Rolle ne s'applique pas dans ce cas là. Je m'excuse pour cette bourde que j'ai proféré.
Cordialement.

Edit : Regarde ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Foncti...d%C3%A9rivable

[A voir en vidéo sur Futura]

[phys4]

Je pense que l'on a besoin du théorème de Rolle, celui ci suffit et il s'applique aux fonctions continues bornées :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...8me_des_bornes

[invitecbade190]

Salut phys4 :

C'est vrai ça ... ? Le théorème de Rolle s'applique -t-il aux fonctions continues bornées ? Je n'ai pas trouvé ça sur le lien que tu as mis çi - dessus.

Cordialement.

[phys4]

Non pour Rolle, il faut que la fonction soit dérivable, mais ce théorème concerne l'existence d'une dérivée nulle.

Pour la fonctions bornée il suffit que la fonction soit continue c'est le théorème des bornes ( Weierstrass)

[inviteacf85524]

Comment je fais pour montrer que c'est vrai du coup ?

[phys4]

Je pense qu'il faut appliquer le théorème sur un intervalle borné d'une période, car il n'est pas valable sur un intervalle non borné.

[invite23cdddab]

Si f est T periodique et continue, alors la restriction de f à [0,T] est bornée et atteint son maximum. Notons a un point ou elle atteint son maximum.

Alors comme f est T periodique, quelque soit x réel, et . (c'est juste le reste de la division euclidienne de x par T)

Ainsi,

et f(a) est donc le maximum de f