Soit X une partie non vide de R. On suppose que X est un ouvert de R, c’est-à-dire que
∀x ∈ X, ∃r ∈ R*+; ]x − r, x + r[⊂ X. (2.1)
1. Montrer que l’assertion 2.1 est équivalente à
∀x ∈ X, ∃r ∈ Q*+; ]x − r, x + r[⊂ X (2.2)
2. Soit x0 ∈ R et r > 0 . Montrer que si x ∈]x0 − r, x0 + r[, alors ]x − r, x + r[⊂]x0 − 2r, x0 + 2r[.
3. Posons I = {(x, r) ∈ Q × Q*+ :]x − r, x + r[⊂ X}. On considère le sous-ensemble Y de R défini par :
Y = ∪(x,r)∈I]x − r, x + r[.
3.1. Montrer que Y ⊂ X .
3.2. Montrer en vous aidant de la question 2. que
∀x0 ∈ X, ∃(x, r) ∈ I; x0 ∈]x − r, x + r[.
3.3. Déduire de la question précédente que X ⊂ Y.
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