devoir

[invite462443d2]

j'ai un petit souci et pour cela j'ai besoin d'une aide.le but est de montrer que tous sous groupe Z est de la forme nZ
-----

[invitea6f35777]

Salut,

Il y a plusieurs façon de faire, la méthode classique utilise la division euclidienne. L'idée est toujours de trouver une caractérisation de afin de pouvoir le définir. Précisément il s'agit de répondre à la question: Soit un sous-groupe de , si je suppose qu'il est de la forme (il s'avère que ce sera toujours le cas mais là on est dans une phase d'analyse) alors comment puis-je trouver à partir de . Je te propose deux caractérisation au choix

1- est alors le plus élément strictement positif du groupe (méthode classique)

2- est alors la plus petite différence (positive ) entre deux éléments du groupe.

note que pour tout sous-groupe de 1- ou 2- permet de définir un certain entier il reste juste alors à montrer que avec le ainsi défini. Il rest donc pas mal de boulot mais je ne vais pas tout faire à ta place.

Cette méthode est classique, la question montrer que tout sous-groupe ... est de la forme ... est équivalente à la question montrer qu'il existe un unique tel que ... c'est donc une équation d'inconnue , on veux trouver une valeur de qui permet d'avoir l'égalité

Pour la résolution d'une équation la deuxième méthode qui vient après la résolution directe c'est la méthode de l'analyse synthèse. Première phase l'analyse, on ne sait pas s'il y a une solution mais on suppose qu'il y en a une et on essaie de la caractériser ce qui permet de réduire le nombre de candidats possibles, le cas idéal étant d'avoir plus qu'un seul candidat comme ici. Il faut donc trouver des propriétés que vérifie la solution et que ne vérifient pas n'importe quel autre entier et qui permettent de la déterminer plus ou moins. Il faut trouver une propriétés qui est vérifiée de façon certaine par au moins un objet et dans l'idéal par un minimum d'objets (note que la propriété : "être solution de l'équation" ne convient puisqu'on est pas sûr qu'il y a au moins une solution) et telle que si un objet est solution alors elle vérifie cette propriété. La phase de synthèse consiste à tester les candidats (les solutions s'il y en a font forcément parti des candidats) et voir si parmis eux il y a des solutions.