Bonjour à tous, j'ai un petit problème qui m'agace mais assez rapide :
Soit :
pour n un entier naturel.
IL faut montrer que
Cependant, j'ai essayé des changements de variable comme x = 1 + u^2 puis avec l'exposant n, et d'autres, j'ai aussi essayé une IPP sans changement de variables sauf qu'on a une forme indéterminée dans une des primitives...
Bref, peut être que c'est tout bête mais j'ai loupé quelque chose !
Merci d'avance
Il suffit de faire le calcul demandé (premier membre), puis dans l'intégrale obtenue, sortir un u devant la fraction. Une ipp devient évidente.
Cordialement.
Bonjour gg0,
J'ai fait le calcul et je trouve le bon résultat cependant j'ai un doute sur mon raisonnement sur un point, pourriez vous vérifier ?
Avec IPP, j'obtiens :
Et dans le second terme qui est la primitive, j'obtiens :
Et ici j'ai justifié pour la limite en l'infini en disant qu'au numérateur on avait un polynome de degré 1 et au dénominateur, un polynome de degré 2n, soit donc :
Est-ce bon ?
Merci d'avance
Désolé, je ne comprends pas de quoi tu parles. mais si tu obtiens pas un calcul correct (je ne peux pas le vérifier, tu ne le donnes pas) le résultat
alors tu as trouvé.
Une remarque : Pour n=0, un polynôme de degré 2n c'est une constante. Peut-être faut-il voir de près les cas n=0 et n=1.
Cordialement.
Merci beaucoup pour votre aide, je pense que c'est bon.
Je ne savais pas faire les crochets avec Latex quand j'ai écrit le message, c'est pour cela que j'ai pas tout mis sur la même ligne !
Mais je parlais de mon raisonnement sur la limite !
je veillerai en effet à détailler le cas pour n=0 ou n=1 sur ma feuille !
Merci
Fais-le tout de suite, car si ton énoncé dit "n un entier naturel", il y a un souci !
Oui cela est bizarre, l'énoncé dit juste "n un entier positif", aucune autre précisions n'est donnée !
Le cas avec n=0 est à exclure car 0 ne divise personne
Le cas avec n=1 ne pose pas tellement de problème puisque la limite serait toujours la même donc c'est bon, pas de formes indéterminées.
Combien vaut I0 ?
L'intégrande étant 1, une des primitives serait u , donc l'intégrale
I0 n'est pas une variable, donc il ne "tend" pas. La fonction 1 n'est pas intégrable sur [0,+oo[, donc pas de I0.
A priori, n est un entier strictement positif, et l'intégrale de base est I1, de valeur facile à trouver. Donc dans la formule de récurrence, il faut prendre n>0.
Cordialement.
