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Problème d'intégration



  1. #1
    Witten

    Problème d'intégration


    ------

    Bonjour,

    J'aimerais intégrer la fonction suivante :



    Avec une double intégration par partie je tombe sur 0=0. Et un changement de variable ne m'a pas non plus avancé. J'ai essayer d'intégrer 1 diviser par racine de u. Mais peut-être que je me suis trompé.
    Et ma calculatrice ne veut pas me donner la primitive . Pourriez vous me dire comment il faut procéder?

    Merci d'avance

    -----

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  3. #2
    nissart7831

    Re : Problème d'intégration

    Bonjour,

    je ne dis pas qu'il n'y a pas plus simple comme moyen, mais c'est la 1ère idée qui m'est venu et ça marche.
    Réduis le dénominateur et ensuite en factorisant bien, tu tombes sur une expression simple.

  4. #3
    matthias

    Re : Problème d'intégration

    Oui, pas besoin d'intégration par parties, juste transformer l'expression de manière relativement simple.
    Une fois que tu as obtenu une expression de la forme:



    tu n'as plus qu'à intégrer.

  5. #4
    Bleyblue

    Re : Problème d'intégration

    Je suppose qu'x0 est une constante ?

    Moi je mettrais 1/(x.x0) en évidence au dénominateur :



    puis en posant y = x0 - x
    ...

  6. #5
    rvz

    Re : Problème d'intégration

    Euh ....

    x = (x-x0) +x0

    __
    rvz

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    matthias

    Re : Problème d'intégration

    Citation Envoyé par Bleyblue
    puis en posant y = x0 - x
    ...
    C'est vraiment pour le plaisir de faire un changement de variable ...

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  10. #7
    Bleyblue

    Re : Problème d'intégration

    Bah moi je préfère le changement de variable...
    Witten fera comme il préfère

  11. #8
    BioBen

    Re : Problème d'intégration

    x = (x-x0) +x0
    Oui ca simplifie encore plus celle de Bleyblue

  12. #9
    Witten

    Re : Problème d'intégration

    Excusez moi, , j'avais oubliez la racine dans mon expression. La primitive que je cherche est :



    Où x0 est une constante, pour simplifier j'ai poser 1/x0=a.

    Désolez de vous avoir fait chercher la mauvaise primitive.

  13. #10
    Bleyblue

    Re : Problème d'intégration

    Mais mon cher, ça ne fait rien

    Alors voyons, ca se complique :



    et la poser x/(1 - ax) = t² mais tu vas tomber sur des calculs longs et compliqués

    Je vais voir s'il n'y a pas moyen d'y arriver autrement

  14. #11
    Witten

    Re : Problème d'intégration

    Alors voyons, ca se complique : et la poser x/(1 - ax) = t² mais tu vas tomber sur des calculs longs et compliqués
    Je suis tous à fait d'accord avec toi. Après une heure de calcul sans résultat le contraire m'aurait fait douter de moi, et ma capacité à intégrer (j'avoue avoir un peu perdu la main quand même).

  15. #12
    Bleyblue

    Re : Problème d'intégration

    Tu peux aussi poser x = 1/t² mais l'intégrale ne sera pas forcément plus simple ...

    EDIT :

    Citation Envoyé par Witten
    (j'avoue avoir un peu perdu la main quand même).
    De toute façon les intégrales de ce type la (racine d'une fonction homographique) donnent toujours lieu à des calculs affreux ...

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  17. #13
    Witten

    Re : Problème d'intégration

    Comme je le disais déjà, j'ai passé au moins 1h à essayer, sans résultat. Et j'ai essayer tous ce que je voyais. Mais je vais quand même essayer ta deuxième proposition d'intégration par changement de variable, BleyBlue.

    Ma première fonction que j'avais écrite sans la racine est tellement facile à intégrer, il m'a fallu 2 min.

  18. #14
    Witten

    Re : Problème d'intégration

    Merci pour ton indication Bleyblue, mais malheureusement je n'arrive toujours pas de trouver une primitive. Je crois que je vais abandonner pour ce soir.

  19. #15
    matthias

    Re : Problème d'intégration

    Normalement avec t²=x/(1-ax) comme proposé par Bleyblue, tu dois réussir à te ramener à des intégrales du type:



    et



    La première étant classique et la deuxième se calculant à partir de la première après une intégration par partie.
    Enfin, si je ne me suis pas trompé ...

  20. #16
    BioBen

    Re : Problème d'intégration

    Non en fait ca marche pas je crois...

  21. #17
    matthias

    Re : Problème d'intégration

    A quel niveau ?

  22. #18
    BioBen

    Re : Problème d'intégration

    Oops excuse je parlais pour une truc que j'avais écrit puis édité mais j'ai pas mis que c'était une édit....

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  24. #19
    Witten

    Re : Problème d'intégration

    Maintenant, en partant de t²=x/(1-ax) j'ai trouvé :



    Je vais voir si ça m'avance. Merci pour votre aide.

  25. #20
    matthias

    Re : Problème d'intégration

    Tu es sûr que ce n'est pas 2 à la place de 1/2 (c'est peut-être moi qui ai fait une erreur ceci-dit) ?

    Quoi qu'il en soit, avec ça tu peux te ramener aux intégrales que j'ai donné avant.

  26. #21
    Witten

    Re : Problème d'intégration

    Je ne crois pas avoir fait d'erreur, mais bon un facteur de 1/2 ou de 2 ça change pas l'intégrale, comme tu le dit. Je vérifierais après.
    Sinon j'ai trouvé :



    Mainteant j'ai du mal à trouver la primitive de cette fonction au carré (multiplier par une constante C). Le but est tous près.

  27. #22
    matthias

    Re : Problème d'intégration

    Regarde du côté du message #15

  28. #23
    Witten

    Re : Problème d'intégration

    Tu avais raison matthias pour le terme, c'est 2. A force d'intégrer/dériver j'ai confondu les deux, tu t'en doutais surement .

    Sinon pour l'intégration par partie, j'obtiens bizzarement 0 . Mais je vais refaire ça calmement demain.

    Merci pour votre aide, grâce à vous j'y suis déjà presque, et bonne nuit

  29. #24
    winny

    Problème d'intégration

    Bonjour je suis nouvelle et jai un petit soucis!
    comment fait on pour montrer que f(x)=x/(e(x)-1) est integrable au sens de Lebesgue sur [0;+infini[ ?
    je ne sais ps si quelqun peut m'aider
    merci à l'avance.

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  31. #25
    matthias

    Re : Problème d'intégration

    Déjà, elle est continue donc mesurable (il faut regarder la limite en 0 quand-même mais ça ne pose pas de difficulté).
    Ensuite tu peux découper ton intervalle en deux: [0;a] et [a;+infini[, et choisir a de façon à ce que ta fonction soit inférieure à une fonction intégrable sur [a;+infini[ (par exemple exp(-x/2))

  32. #26
    winny

    Re : Problème d'intégration

    c'est ce que j'ai fait mais quand on étudie la limite en 0 on part à l'infini donc pour la majoration je me place sur un compact [a;b] mais cela ne suffit pas je pense pour avoir la landa-intégrabilité sur [0;+infini[!

  33. #27
    matthias

    Re : Problème d'intégration

    Citation Envoyé par winny
    quand on étudie la limite en 0 on part à l'infini
    La limite en 0 se calcule bien, vu que l'expression est l'inverse du taux de variation d'une fonction bien connue.

  34. #28
    winny

    Re : Problème d'intégration

    je lai justifier avec un DL de exponentiel jpense que c'est valable aussi non mais le soucis reste le meme je pars à l'infini!ce DL me permet égalemen d'avoir du 1/x² pour la majoration mais je suis que ce soit académique de majorer avec un DL!!

  35. #29
    matthias

    Re : Problème d'intégration

    Pour calculer une limite tu peux effectivement utiliser un DL. Et si tu es en train de me dire que tu trouves une limite infinie en 0, alors tu as du faire une erreur.
    Comme la limite est finie en 0, la fonction est continue et tu n'as pas besoin de majoration au voisinage de 0, seulement au voisinage de l'infini.

  36. #30
    winny

    Re : Problème d'intégration

    Ouh lala!!!!!
    je viens de m'apercevoir de ma grosse étourderie.....effectivement c'est 1 ça va tout de suite mieux!!!je suis désolé du tps perdu à rien

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