Problème d'intégration

[Josquin]

Est-ce que quelqu'un sait comment on fait pour trouver une primitive de le fonction x->1/V(1+x²) (V = racine carrée) autrement qu'en le demandant à sa T.I. ?

Merci !

Josquin
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[invite4793db90]

Salut,

il faut connaître les fonctions hyperboliques et leurs réciproques.

[invite4793db90]

Plus précisément,

la fonction sinh(x)=1/2(exp(x)-exp(-x)) est la fonction "sinus hyperbolique",
la fonction cosh(x)=1/2(exp(x)+exp(-x)) est la fonction "cosinus hyperbolique".

On a les propriétés cosh²-sinh²=1 et sinh'=cosh.

Je te propose une démonstration qui n'est pas rigoureuse: je pose x=sinh(y).
En dérivant:
puis .
La primitive est donc la fonction réciproque du sinus hyperbolique.

Sinon, il faut utiliser un théorème sur la dérivée des fonctions réciproques.
Par ailleurs, cette fonction peut s'exprimer à l'aide de logarithmes.

Cordialement.

[invite88ef51f0]

Salut,
Voilà ce que je te propose, je ne te cache pas que j'ai regardé la tête du résultat avant...
Et là, tu as un truc de la forme u'/u...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite88ef51f0]

Pour continuer dans la remarque de Martini_bird, par ma méthode on trouve comme primitive . Et si tu poses x=sh(t), tu as : Donc on a