Topologie

invitecbade190 · 02/09/2015, 14h19

Bonjour à tous,

J'ai besoin de votre aide pour m'éclairer la chose suivante :

Soient $\text{[math]}$ un groupe topologique et $\text{[math]}$ .
Soient $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .
Soit : $\text{[math]}$ .

Pourquoi alors, il existe des voisinages $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ , tels que : $\text{[math]}$ ?

Merci d'avance.

Edit : Il me semble qu'il faut considérer l'application $\text{[math]}$ qui est continue sur le groupe topologique $\text{[math]}$ , mais, je ne sais pas comment utiliser cette remarque pour établir le résultat.

invitecbade190 · 02/09/2015, 14h29

Il me semble qu'il faut utiliser la définition suivante :
$\text{[math]}$ est continue $\text{[math]}$ telle que : $\text{[math]}$ .
C'était si simple qu'il ne fallait pas consacrer tout un fil pour cette question. Toutes mes excuses.
Vous pouvez le supprimer si vous voulez ( Appel aux modo ).
Cordialement.

**Seirios** · 03/09/2015, 09h20

Bonjour,

Tu n'as pas précisé ce qu'était $\text{[math]}$ . Un voisinage ouvert de $\text{[math]}$ que l'on fixe au début ?

invitecbade190 · 03/09/2015, 14h01

Oui, exactement, $\text{[math]}$ est un voisinage de $\text{[math]}$ ( non nécessairement ouvert ).
Mais, j'ai déjà trouvé la réponse. Merci quant même.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invitecbade190 · 07/09/2015, 21h39

Bonjour à tous,

Dans un livre, je trouve le passage suivant :

For example, if $\text{[math]}$ is a topological abelian group (e.g., $\text{[math]}$ or $\text{[math]}$ ), then we can define a sheaf on any topological space $\text{[math]}$ by setting $\text{[math]}$ equal to the set of continuous maps $\text{[math]}$ and taking the restriction maps to be the usual restriction of functions.
When $\text{[math]}$ has the discrete topology, every continuous map $\text{[math]}$ is constant on each connected component of $\text{[math]}$ , and hence factors through $\text{[math]}$ the space of connected components of $\text{[math]}$ . When this last space is discrete, $\text{[math]}$ is the set of all maps $\text{[math]}$ , i.e., $\text{[math]}$ . In this case, we call $\text{[math]}$ the constant sheaf defined by the abelian group $\text{[math]}$ .

Pourquoi svp, lorsque $\text{[math]}$ est muni de la topologie discrète, alors, toute application continue $\text{[math]}$ est constante sur chaque composante connexe de $\text{[math]}$ , et par conséquent, elle se factorise par $\text{[math]}$ ?

Merci d'avance.

**gg0** · 07/09/2015, 21h55

Et si tu cherchais seul ? En réfléchissant à ce qu'est une application continue qui arrive dans un espace topologique discret ?
Tu trouverais ...

invitecbade190 · 07/09/2015, 22h01

Salut gg0 :
Je ne sais pas si je vais pouvoir bien exprimer ça :
Si $\text{[math]}$ est muni de la topologie discrète, alors, $\text{[math]}$ est un ouvert de $\text{[math]}$ , et que $\text{[math]}$ , alors : $\text{[math]}$ , Donc, U est une partition d'ouverts ? Mais, je n'arrive pas à établir que chaque ouvert est connexe, et en même temps le plus grand ouvert.

**gg0** · 07/09/2015, 22h13

Essaie encore .... après avoir relu.

invitecbade190 · 07/09/2015, 22h37

Mon cerveau est rouillé.

Soit : $\text{[math]}$ une partition ouverte de $\text{[math]}$ , alors : $\text{[math]}$ est un ouvert de $\text{[math]}$ . Montrons qu'il est connexe. En effet :
Supposons que $\text{[math]}$ est réunion de deux ouverts disjoints $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , cela signifie que : $\text{[math]}$ et donc, $\text{[math]}$ , pouvez vous me dire pourquoi celà signifie que : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ?
Merci d'avance.

invite9dc7b526 · 08/09/2015, 09h31

bonjour,

si un ouvert est réunion d'ouverts disjoints, il n'y a pas de raison pour que ces ouverts soient connexes. Est-ce bien ça que tu essaies de montrer?

**gg0** · 08/09/2015, 10h46

Pourquoi ne traites-tu pas la question que tu posais ?

Il te suffit de prouver que si B est une composante connexe de U, f est constante sur B. C'est ce que dit ton énoncé (l'avais-tu compris ???). Alors au boulot !

"Mon cerveau est rouillé" : Ça fait 10 ans que je te vois écrire ça pour éviter de chercher toi-même. Tu ne peux pas prétendre traiter des questions de recherche actuelle et refuser de réfléchir !

invitecbade190 · 08/09/2015, 13h14

Bonjour,

@minusha : Je m'excuse minusha, c'est moi qui n'a pas bien saisi toute l'histoire raconté dans l'énoncé depuis le début comme l'a signalé gg0.

@gg0 : On admet à priori que $\text{[math]}$ admet une partition en composantes connexes, non ? Il faut donc, établir qu'elle est constante sur chaque composante connexe. Supposons donc, que $\text{[math]}$ qui est continue, n'est pas constante sur une composante connexe $\text{[math]}$ , alors : $\text{[math]}$ tels que : $\text{[math]}$ . Par conséquent : il existe deux ouverts disjoints : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ mais qui ne recouvrent pas $\text{[math]}$ , ben voilà, je n'arrive pas à voir où cela est contradictoire avec le fait que $\text{[math]}$ est une composante connexe. Pouvez vous me donner une piste svp ?

Merci d'avance.

**gg0** · 08/09/2015, 13h25

On admet à priori que $U$ admet une partition en composantes connexes, non ?

Ben ... c'est une évidence, non ? Plus exactement, si tu ne connais rien à la notion de composante connexe, il fat l'étudier, pour comprendre ceux qui en parlent.

il existe deux ouverts disjoints : $f^{-1} ( \{ x \} )$ et $f^{-1} ( \{y \} )$

absurde. Réfléchis, avant d'écrire.

Pour la fin, il faudrait peut-être utiliser l'hypothèse. donc savoir ce qu'est une composante connexe.
On en revient encore une fois au même : manipuler des mots mathématiques sans savoir ce qu'ils veulent dire est une activité absurde. On pourrait t'écrire une preuve, mais copier des textes qu'on ne comprend pas est une activité absurde, idiote.
Donc apprends ce que tu ne connais pas.

invitecbade190 · 08/09/2015, 13h38

Une composante connexe en $\text{[math]}$ , est le plus grand connexe qui contient $\text{[math]}$ , c'est à dire, la réunion de tous les connexes qui contient $\text{[math]}$ . On est d'accord ?
Que faire après ?

invite9dc7b526 · 08/09/2015, 13h55

Ce qu'il faut voir c'est que dans la topologie discrète toutes les parties sont ouvertes. Tu peux considérer {x} et son complémentaire E\{x} : ce sont deux ouverts.

invitecbade190 · 08/09/2015, 14h18

Merci @minusha :
Soit $\text{[math]}$ une composante connexe de $\text{[math]}$ , et supposons que $\text{[math]}$ qui est continue sur $\text{[math]}$ , n'est pas constante sur $\text{[math]}$ , alors, $\text{[math]}$ , tel que : $\text{[math]}$ , alors : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ avec : $\text{[math]}$ est une partition de $\text{[math]}$ en deux ouverts disjoints, cela signifie que : $\text{[math]}$ n'est pas connexe, absurde. Par conséquent $\text{[math]}$ est constante sur $\text{[math]}$ , est ce que c'est correct ?
Merci d'avance.

invitecbade190 · 08/09/2015, 17h54

Bonjour,

On retourne à notre paragraphe pour essayer de comprendre la suite :

For example, if $\text{[math]}$ is a topological abelian group (e.g., $\text{[math]}$ or $\text{[math]}$ ), then we can define a sheaf on any topological space $\text{[math]}$ by setting $\mathcal{F} (U)$ equal to the set of continuous maps and taking the restriction maps to be the usual restriction of functions. When $\text{[math]}$ has the discrete topology, every continuous map $\text{[math]}$ is constant on each connected component of $\text{[math]}$ , and hence factors through $\text{[math]}$ the space of connected components of $\text{[math]}$ . When this last space is discrete, $\text{[math]}$ is the set of all maps $\text{[math]}$ , i.e., $\text{[math]}$ . In this case, we call $\text{[math]}$ the constant sheaf defined by the abelian group $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ se factorise par : $\text{[math]}$ . Par quelle relation d'équivalence est définit : $\text{[math]}$ ? En d'autres termes, il s'agit de définit une relation d'équivalence : $\text{[math]}$ telle que : $\text{[math]}$ , non ? quelle est cette relation d'équivalence. J'imagine que c'est : $\text{[math]}$ , non ?

Pourquoi alors, si $\text{[math]}$ est discret, alors $\text{[math]}$ ?

Merci d'avance.

invitecbade190 · 08/09/2015, 18h20

Ah d'accord, si $\text{[math]}$ est discret, alors : $\text{[math]}$ , parce que les composantes connexes, c'est à dire, les classes d'équivalences sont réduits au singletons. Par conséquent, $\text{[math]}$ s'identifient à $\text{[math]}$ .

invitecbade190 · 15/10/2015, 23h20

Salut à tous,

Soit $\text{[math]}$ un espace topologique, et $\text{[math]}$ .
Pourquoi svp, $\text{[math]}$ avec : $\text{[math]}$ signifie l’intérieur de $\text{[math]}$ ?

Merci d'avance.

invite23cdddab · 16/10/2015, 08h19

Parce que $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ , mais comme $\text{[math]}$ est ouvert, $\text{[math]}$ est fermé, or $\text{[math]}$ est le plus petit fermé contenant $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$

invitecbade190 · 16/10/2015, 10h57

Oui, c'est vrai, merci beaucoup. Est ce que la réciproque est valable aussi ?
Merci d'avance.

invitecbade190 · 16/10/2015, 18h14

Voici ce que j'ai fait :
$\text{[math]}$ : $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Par conséquent : $\text{[math]}$ .
Non ?
Merci d'avance.

invite23cdddab · 16/10/2015, 18h40

On a déjà du te le dire, mais le répéter ne fait jamais de mal : employer $\text{[math]}$ comme tu le fait, et surtout en aligner 4 ou 5 à la suite est une erreur...

Sinon, ce que tu as prouvé, c'est que dans un espace métrique, c'était vrai... maintenant, est ce vrai dans n'importe quel espace topologique ?

Encore que : est ce que $\text{[math]}$ est bien équivalent à $\text{[math]}$

invitecbade190 · 18/10/2015, 22h22

D'accord, merci.

Une autre question que je vous adresse à vous tous :

Est ce que vous pouvez me fournir un exemple ou deux d'espaces topologiques qui ne sont pas localement compact ?. Pour votre infos : $\text{[math]}$ est par exemple localement compact.

Merci d'avance.

invite23cdddab · 18/10/2015, 22h39

Par exemple, un espace vectoriel normé de dimension infinie n'est pas localement compact (théorème de Riesz).

**Seirios** · 20/10/2015, 11h44

Ou plus simplement, un graphe non localement fini.

invitecbade190 · 20/10/2015, 18h06

Salut :
Merci à vous deux.
Qu'est ce que c'est que un graphe non localement fini ?
Merci d'avance.

**Seirios** · 20/10/2015, 20h09

Un graphe (disons un complexe simplificial de dimension 1) avec un sommet ayant une infinité de voisins.

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