difficulté en estimation statisitique

[invite63199cf6]

Salut je suis un étudiant en pharmacie j'ai des difficultés concernant un exercice de math :


On considère un échantillon aléatoire de taille n, x1......xn tiré d'une population de moyenne m et de variance σ ². On propose les deux estimateurs
n

m1 = 1/n * xi et m2= (x1+xn)/2
i=1

comme des estimateurs de m

1/ Etudier le biais et la convergence des deux estimateurs
2/quel est l'estimateur le plus efficace ?
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[gg0]

Bonjour.

Pour le premier, on trouve la réponse dans tous les cours de statistiques. Je traite le deuxième, ce qui te permettra de traiter le premier de la même façon, si tu n'as pas déjà un cours sur le sujet.

Donc m2 est la moyenne de deux termes de l'échantillon. Considérons la variable aléatoire M2 = moyenne de deux valeurs tirées dans la population. Explications :
* pour savoir ce que va donner en général une estimation, on considère la variable aléatoire associée, et ses propriétés. Je fais donc la différence entre m2 obtenu à partir d'un échantillon effectif, et M2, qui parle de tous les échantillons; donc m2 est une réalisation, une valeur prise par M2.
* j'ai pris 2 valeurs sans précision, car que l'on prenne les deux extrêmes, ou les deux premières, ou les deux dernières, ou ... comme ces valeurs ont été obtenues au hasard, ça n'a pas d'importance.
On a alors, en notant X1 et Xn les variables aléatoires "première valeur" et "dernière valeur" :
L'estimateur M2 est donc sans biais.
Je te laisse calculer la variance de M2, par un calcul analogue (voir tes cours et les propriétés de la variance), tu verras qu'elle est constante, donc l'estimateur n'est pas convergent (contrairement à M1).

Cordialement.

NB : je déroge aux règles habituelles du forum, mais ces questions ne sont pas simples, même pour un étudiant de L3 mathématiques.

[invitecbade190]

Salut :

Je me permets d'ajouter quelques précisions à ce sujet après être traité par gg0 :

- Étudier le biais de l'estimateur de revient à vérifier si l’estimateur de est sans biais ( i.e : si : ) ou s'il est biaisé ( i.e : ).
- Étudier la convergence de l'estimateur de revient à vérifier si l'estimateur de converge ( i.e : ) ou il ne converge pas.
- Dire quel est l'estimateur de le plus efficace entre et revient à vérifier si ou bien .
Si :, cela signifie que : est plus efficace que . Si c'est la deuxième inégalité, alors, c'est qui est plus efficace que .

A toi maintenant d'appliquer ces définitions à ton exercice. C'est facile. On s'habitue à ce genre de choses avec le temps. Il suffit juste d'un peu de pratique.

Cordialement.

[invite63199cf6]

Merci pour l'info mais le cours est un peu flou pour le comprendre donc j'aimerais bien plus d'explication par exemple
E(M1) = ?? et E(M2)= ???
V(m1) = ?? et V(m2) = ???
Un très très grand merci pour vos aides

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Tu te moques du monde ! Je t'ai calculé en détails E(M2) !!!

Soit tu veux faire ton exercice, et tu lis ce qu'on te dit, tu relis ton cours (un peu flou dans ta tête, étudie-le il sera moins flou) et tu te mets au travail ! Sinon, inutile qu'on t'aide : C'est ton travail, pas le notre.