Quelques questions de calculs différentiel et intégral

[invite1ebfd882]

Bonjour à tous,

Je crée ce sujet pour y poser quelques questions qui me trottent dans la tête depuis un moment :

1) Je ne vois pas en quoi la définition d'une dérivée partielle par rapport à une variable implique qu'en pratique on la calcule en gelant les autres variables. Pour rappel la dérivée partielle d'une fonction f(x, y) (2 variables pour simplifier) par rapport à sa variable x est la dérivée directionnelle de f dans la direction (définition) :



... en pratique on dérivera f par rapport à x en faisant comme si y était une constante... => POURQUOI ???



2) On considère :



Pour montrer que f est continue en (0, 0), il faut montrer que

Problème : Je ne sais pas calculer cette limite...



3) Je veux calculer le volume du sous-ensemble de : D = {}

Par définition le volume est donné par

Pour intégrer il faut trouver l'intervalle sur lequel varient ces 3 variables. Pour z on voit vite qu'il est compris entre 0 et 1 puisque la somme de 2 carrés est positive. Après si on considère que x et y décrivent un cercle de rayon centré sur 0... on va avoir des racines toutes moches et compliquées en bornes pour x et y... et se retrouver avec une intégrale pas simple à calculer. N'y a-t-il pas un "truc" à voir pour calculer facilement cette intégrale ?



4) Pour finir je bloque sur l'intégrale :

J'ai essayé de faire une intégration par parties mais... je m'y casse les dents



Voili voilou en espérant que vous aurez des pistes pour m'aider... Bon app' / bonne nuit / bonne année !
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[gg0]

Bonsoir.

1) en posant g(x)=f(x,y),
y n'est pas concerné, il ne varie pas quand a tend vers 0, donc c'est bien ce qu'on appelle une constante, non ?

2) Bizarre ! Tu n'as pas la définition de cette limite ? Intuitivement, c'est assez évident (*). Formellement, on remplace le de la définition pour les limites de fonctions à une variable par .
Après, il y a diverses techniques, comme par exemple de passer en polaire.

3) Pourquoi refuser le calcul ? cependant, là encore, le rôle joué par x et y fait penser à un passage en polaire une fois la séparation entre z et les deux autres variables faite.

4) Forme classique de dérivée u'/u^n.

Cordialement.

(*) quoiqu'il existe pas mal de moyens de se rapprocher de (0,0).

[invite1ebfd882]

Merci pour tes réponses gg0

La définition de la limite en (0,0) =>

Allons-y :


... et je ne vois pas quoi dire de plus !

Ensuite pour la dérivée u'/u^n il faut que n soit un entier non ?

[gg0]

Rappel : Pour prouver une limite avec la définition, il faut trouver le qui convient, qui permet d'obtenir l'inégalité avec le .
Donc ta recherche part de en remontant les implications pour arriver à .
Pour la dérivée : " il faut que n soit un entier non ? " non ! Voir un cours sur les formules de dérivation; ou revenir à la définition avec l'exponentielle si n n'est pas un entier.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited3a27037]

bonjour

Pour la question 3

On peut soit découper le volume D en tranches horizontales, chaque tranche étant un disque de rayon et d'épaisseur d'épaisseur dz, puis intégrer de 0 à 1, ou bien passer en coordonnées cylindrique (r, , z)

[invited3a27037]

Pour la question 4, se ramener à

[invite1ebfd882]

@gg0 :

ta recherche part de en remontant les implications pour arriver à .

Là encore je tourne en rond, je n'arrive qu'à trouver (x² + y²) > qqch :'( Comme tu t'en doutes je n'ai jamais démontré une limite à partir de la définition donc je dois mal m'y prendre ^^'

@joel_5632 : Merci pour tes précisions !

[gg0]

C'est bien pour cela qu'on utilise généralement d'autres méthodes, basées sur les propriétés des limites.

Dans ton cas, le plus simple est de passer en coordonnées polaires x=r.cos(t), y=r.sin(t). Dire que (x,y) tend vers 0, c'est dire que r tend vers 0. t est l'angle entre l'axe des x et [OM), où M(x,y), et la valeur de t n'intervient pas si la limite est nulle.

Cordialement.

[invite1ebfd882]

Oki, merci à vous pour m'avoir aidé à résoudre ces 4 problèmes !