Quelques questions sur le calcul différentiel et intégral

[invitea250c65c]

Bonjour à tous,

J'ai quelques questions à vous poser sur le calcul différentiel et intégral.
J'ai un bouquin dans lequel on propose une demonstration de la dérivée de la fonction réciproque : (evidemment est la bijection réciproque de f sur l'intervalle considéré, ne s'annule pas sur cet intervalle ...).
Comme démo il est proposé de dériver l'égalité et on en déduit facilement le résultat.
Quand on fait ca en fait on ne montre pas que est dérivable, n'est ce pas ? On montre juste que si elle l'est alors sa dérivée est donnée par la formule ci dessus. C'est bien ca ?
Parce que l'égalité n'implique pas que est dérivable, juste que sa composée avec f (ici "x") l'est et que f l'est (hypothèse du théorème).
Est-ce correct ?
Pour moi aucun autre moyen de montrer qu'elle est dérivable que (ou analogue) : http://pagesperso-orange.fr/gilles.c...rs/deriv03.pdf, page 11 en haut (après avoir montré que si f est continue l'est).

Donc mon bouquin admet que est dérivable.
Ai-je raison ?

Merci d'avance.
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[invite35452583]

Donc mon bouquin admet que est dérivable.
Ai-je raison ?

Oui, rien à ajouter au raisonnement.

[invitea250c65c]

D'accord je te remercie ca me rassure parce qu'il n'est écrit nulle part qu'on admet que est dérivable.

Je voulais aussi demander si on pouvait estimer l'erreur comise lors de l'utilisation de la méthode d'Euler. Je pense que non puisque de toutes facon on ne connait pas la fonction mais peut-on avoir un ordre de grandeur? par exemple peut-on dire en prenant un pas dix fois plus petit que celui-ci je ferai 40% d'erreur en moins ?

Merci d'avance

[invite35452583]

D'accord je te remercie ca me rassure parce qu'il n'est écrit nulle part qu'on admet que est dérivable.

Je voulais aussi demander si on pouvait estimer l'erreur comise lors de l'utilisation de la méthode d'Euler. Je pense que non puisque de toutes facon on ne connait pas la fonction mais peut-on avoir un ordre de grandeur? par exemple peut-on dire en prenant un pas dix fois plus petit que celui-ci je ferai 40% d'erreur en moins ?

Merci d'avance

On peut majorer l'erreur commise si on arrive à majorer les valeurs prises par f'. Si lf'(x)l<M entre a et b alors

(en valeur absolue) où I(a,b;f,n) est l'intégrale calculée avec la méthode d'Euler.
En général on gagne donc mieux que 40% en divisant par 10 le pas.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea250c65c]

OK merci donc il faut réussir à majorer f'. Je regarderait ca d'un peu plus près quand je serai un peu plus avancé, mais c'était juste pour avoir un avant gout.

Une autre question : voyez vous un moyen pas trop compliqué on va dire de résoudre l'équation ? En fait ca vient d'un problème de physique et je voudrais savoir si on peut le résoudre analytiquement (concretement on peut dire que sin(y) est environ égal a y pour de petites valeurs de y et après ca va, donc pour le côté physique du problème c'est bon). Un logiciel de calcul formel me répond à cela une intégrale (pas évidente en plus) donc ca ne m'avance pas beaucoup.
Si c'est trop compliqué ce n'est pas grave mais bon je préfère vous demander au cas ou je sois passé à côté d'une astuce. J'ai essayé des trucs comme un changement de variable z=sin(y) mais la dérivée seconde de l'arcsinus de z est encore moins sympa que l'équation de départ .

Merci d'avance.

[invite5c80e8b0]

Je connais cette équation différentielle ; c'est celle d'un pendule simple ( frottement et masse du " fil " negligeables )
Cette année ( niveau Bac +1 ), on nous a clairement dit que la solution était compliquée, on se cantonnait a des angles " petits ", c'est a dire
ou sin(y) ~ y ...

[invitea250c65c]

En effet, c'est pour le pendule simple. D'accord, je me doutais bien que ca allait être difficile vu la tête de la chose, pas grave, je ferai l'approximation.

Une autre question qui n'a pas grand chose à voir avec les équa diff : voyez vous un moyen pas trop compliqué (relativement intuitif, auquel on aurait pu penser tout seul sans se faire guider par un exo) de calculer avec différente de celle ci : on voit que la limite en donne 0 : en effet, à partir d'un certain rang N n devient plus grand que a donc va tendre vers 0 (le dénomintauer devient de plus en plus grand par rapprt au numérateur ...). Ca c'est bien pour le coup d'oeil mais je me demandais si on pouvait démontrer cela d'une manière plus "propre", j'ai par exemple pensé à prendre le logarithme pour simplifier produits et puissances mais ca revient un peu au même au final, je n'arrive pas à majorer mon expression par quelque chose qui tend vers 0 (à minorer c'est pus facile, je peux provisoirerement prendre a>0 comme ca l'expression est toujours positive), donc je ne suis pas plus avancé.

Donc si vous avez une solution à me proposer, c'est avec plaisir, je continue à chercher de mon côté mais j'avoue que je ne vois pas là.

Merci d'avance.

[invite35452583]

Le plus simple est de rendre "propre" ce que "l'on a vu".
Soit N un entier naturel strictement plus grand que a.
Pour n>=N, on a
Par récurrence commençant au rang N, on montre que pour n>N,

Dans le membre de droite, le second facteur est constant le premier tend vers 0, on conclue avec la propriété du produit des limites et du théorème "des gendarmes".

[invitebe13a34d]

salut,

Après, si on rencontre cette suite, on dira simplement que n! domine a^n en +oo.

[invitea250c65c]

D'accord, c'est vrai que c'est plus "propre" dit comme ca , merci bien.

Je voulais aussi vous demander si on parlait de fonction dont la convexité est tournée vers les y positifs (resp. négatifs) pour parler d'une fonction convexe (resp. concave) ? Parce qu'on parle de cela dans un bouquin mais je n'ai pas l'impression que cela soit très utilisé (je n'ai pas trouvé sur wikipédia et deux ou trois autres sites, on parle juste de fonction convexes et concaves).

Autre petite question : quand on utilise la notation différentielle , comment noter par exemple f'(3) ou plus généralement f'(a), avec a une constante ? Parce que nous en physique cette année ca a toujours été "à t=0, ... " et je n'ai jamais vu autre chose. Est ce que la notation est correcte ?

Merci d'avance.

[invitebe13a34d]

Salut,

1
Souvent on étudie le signe de la 2eme dérivée de la fonction dont on désire connaitre la convexité.

2
se note