Question sur le calcul différentiel

[invite5f1db7a1]

Bonjour,

J'ai lu que pour une fonction y = ax², dy/dx = 2ax. Un autre exemple, y = at³+bt²+ct+d, dy/dt = 3at²+bt+c

Je remarque que si y = axⁿ+bx^p+c, dy/dx = nax^(n-1)+pbx^(p-1)+0

En observant les dérivées secondes, c'est toujours valable. Mais je ne pense pas que ce soit ainsi que Newton et Leibniz aient inventé le calcul différentiel, sur quelque chose qui est aussi hasardeux à première vue.

Ma question est la suivante : Comment fait-on à partir d'une fonction pour trouver la dérivée de la fonction?

Merci
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[invite4793db90]

Salut,

en calculant la limite du taux d'accroissement de la fonction :



Cordialement.

[inviteaeeb6d8b]

Bonjour,

J'ai lu que pour une fonction y = ax², dy/dx = 2ax. Un autre exemple, y = at³+bt²+ct+d, dy/dt = 3at²+bt+c

Je remarque que si y = axⁿ+bx^p+c, dy/dx = nax^(n-1)+pbx^(p-1)+0

En observant les dérivées secondes, c'est toujours valable. Mais je ne pense pas que ce soit ainsi que Newton et Leibniz aient inventé le calcul différentiel, sur quelque chose qui est aussi hasardeux à première vue.

Ma question est la suivante : Comment fait-on à partir d'une fonction pour trouver la dérivée de la fonction?

Merci

Salut !
tu as fait de très bonnes remarques !

sais-tu ce qu'est une dérivée ?

c'est la pente de la courbe de la fonction [EDIT : grillé par Martini !]

pour dériver une fonction, il y a des règles :
-celle que tu as remarquée tout d'abord
-et bien d'autres

par exemple :
(ln(x))' = 1/x
(ln(u))' = u'/u (u est une fonction)
(1/x)' = -1/x²
sin' = cos

etc...

mais tu verras tout ça en 1S

Romain

[invite4b9cdbca]

pour dériver une fonction, il y a des règles :
-celle que tu as remarquée tout d'abord
-et bien d'autres

par exemple :
(ln(x))' = 1/x
(ln(u))' = u'/u (u est une fonction)
(1/x)' = -1/x²
sin' = cos

euh, ça part plutôt d'un calcul de limites que de règes à proprement parler...
Ces formules proviennent à la base de la limite donnée par martini_bird... ou d'autres expressions analogues...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6f25a1fe]

euh, ça part plutôt d'un calcul de limites que de règes à proprement parler...
Ces formules proviennent à la base de la limite donnée par martini_bird... ou d'autres expressions analogues...

Bien sûr, il ne faut pas oublier que la dérivée s'obtient par une limite. Mais perso, j'utilise que très rarement la limite du taux d'accroissement pour obtenir la dérivée. Il y a quelques dérivées de fonction a connaitre. En pratique, on utilisera donc plutôt des "règles" genre ln(x)'=1/x (mais c'est sûr qu'il est important de savoir retrouver cette "formule" et d'être conscient qu'il se cache derrière cette formule une limite qui est la limite du taux d'accroissement).De plus, la bonne connaissance des dérivées des fonctions usuels permet après d'être plus à l'aise avec les intégrales (recherche de primitive)

[invite5f1db7a1]

Merci pour vos réponses, j'ai une petite idée alors, mais je vais probablement attendre encore deux ans (je crois qu'au Canada, du moins au Québec, on apprend les calculs infitésimaux un an plus tard qu'en France ).

[invite965db33f]

Ouais d'ailleurs c'est con parce qu'il me semblait qu'on nous l'avait démontré mais apparement dans mes 2 classeurs de S le fait que donc n'est que intuitif...

Je m'attaque donc au problème et je bloque direct !

Alors j'essaye de passer par une petite transformation, mais sauf erreur de calcul envisageable ça n'arrive pas à grand chose à première vu :

c'est là où à mon sens l'égalité foire au niveau du

Déjà je met ( à mon sens je ne vois par pourquoi ça devrait être ) danstout les cas je ne vois pas comment prouver que


PS : c'est du calcul différentiel ça ?

[invite88ef51f0]

Binôme de Newton... Et au lieu de regrouper en (a+h)^n-1, tu peux juste garder le terme en n a^n-1 h et dire que les autres termes tendent vers 0 quand h tend vers 0.

[invite965db33f]

Hum exact binome de Newton complètement oublié celui-là !

[b@z66]

Ouais d'ailleurs c'est con parce qu'il me semblait qu'on nous l'avait démontré mais apparement dans mes 2 classeurs de S le fait que donc n'est que intuitif...

L'autre méthode consiste aussi à calculer la dérivée de:

f(x)=xⁿ=e(ln(xⁿ))=e(n.ln(x))

PS: Ca dépend du fait que tu connaisses ces fonctions.

[invite965db33f]

J'ai pensé à exponentielle mais je trouvais ças moins élégant à priori.

[b@z66]

J'ai pensé à exponentielle mais je trouvais ças moins élégant à priori.

C'est peut-être moins élegant effectivement (je connaissais pas ta méthode avant) mais celle de l'exponentielle a au moins l'avantage de généraliser la formule pour n non entier.