problème de valeur attendue

[Seirios]

Salut à tous,
j'ai un petit problème avec les probabilités dans un chapitre de mon cours de physique :

On a

Et donc la valeur attendue de est

Ainsi,

Précédemment, on avait démontré que et il s'ensuit que

Alors maintenant ce que je n'arrive pas à comprendre, c'est pourquoi dans l'équation , le terme est-il mis en valeur attendue ?

Et puis je n'arrive pas à comprendre également comment on passe de à ?

Quelqu'un peut-il m'éclairer ?

Merci d'avance
Phys2

PS : si vous avez besoin de plus de précision, dites-le surtout
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[invite4b9cdbca]

Tu peux expliquer ce que sont tes "D" et tes espèces de parenthèses anguleuses ?
(désolé pour la description j'ai la flemme d'ouvrir des balises... ^^)

[Seirios]

D représente la distance parcourue par une personne en N pas, et les "espèces de parenthèses anguleuses" c'est la notation de la valeur attendue (on appelle ça aussi "la moyenne de la distance au carré" ; je trouve que c'est plus représentatif)

Si quelqu'un à besoin d'autres précisions
Phys2

[invitea8d97425]

Pour la seconde question : <Dn²> est une suite arithmétique...

Pour la première : si j'ai bien compris, Dn²prend l'une ou l'autre valeur de façon équirépartie. "En moyenne", les termes en +- vont se "compenser" et on aura plus que les termes carrés et constants. Je pense qu'on peut le voir comme ça "avec les mains".

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Pour la seconde question : <Dn2> est une suite arithmétique...

Ce ne peut être une suite géométrique, parce que (je ne l'avais pas mentionné) il s'agit d'une expérience aléatoire, donc qui ne suit aucune régularité.
Et puis je ne vois pas en quoi cela influt sur l'équation.

Pour la première : si j'ai bien compris, Dn2prend l'une ou l'autre valeur de façon équirépartie. "En moyenne", les termes en +- vont se "compenser" et on aura plus que les termes carrés et constants. Je pense qu'on peut le voir comme ça "avec les mains".

Mais puisque les termes se "compensent", la moyenne devrait être nulle.

[invitea8d97425]

Ce ne peut être une suite géométrique

C'est arithmétique

Mais si on arrive à montrer que les valeurs moyennes <Dn²> suivent cette relation, on est dans le cadre des suites arithmétiques qui vérifient u_n+1=u_n+r.

Mais puisque les termes se "compensent", la moyenne devrait être nulle.

Déja, seuls les termes non carrés diffèrent ; comme on a de toute façon un terme en D(n-1)²+1 qui se rajoute à chaque étape, il y a de bonnes chances qu'il apparaisse dans la moyenne...
Après réflexion on pourrait essayer ça (même si ce n'est pas très rigoreux, on raisonne "à la physicienne") : comme on a équiprobabilité, pour N grand on peut dire qu'en gros Solution N = 1/2(solution (N-1) +) + 1/2(solution (N-1) -), si les "solutions" sont les formules annoncées au départ. Ca donne ce qu'on veut...

[Seirios]

Je sais pas pourquoi, mais je n'arrive pas à comprendre
Alors pour être sûr que l'on est sur la même longueur d'onde (et comme mon premier post n'est pas forcément très clair), voilà une version un peu plus complète de l'énoncé :
Considérons, dans une situation aléatoire, la distance parcourue par une personne en fonction du nombre de pas qu’elle aura effectué.
Nous savons qu’après un pas, et que par conséquent
On peut obtenir la valeur attendue de pour à partir de ; si après pas, on a alors on a ou après pas.
Ainsi, ou
Comme il y a équiprobabilité, la valeur absolue de est
En général, nous devrions avoir pour la valeur absolue (par définition).
Donc
Et comme, on l’a dit plus haut, il s’ensuit que :


Voilà, si quelqu'un pouvait me sortir de cette impasse
Merci d'avance
Phys2

[fritzlm]

Si j'ai bien compris, la notion de valeur attendue est la même que celle d'espérance mathématique (ou moyenne). La notion d'équiprobabilité se reflète par:

P(Dn^2=D(n-1)^2+2D(n-1)+1)=P(Dn^2=D(n-1)^2-2D(n-1)+1)=1/2

En notant V1=D(n-1)^2+2D(n-1)+1 et V2=Dn^2=D(n-1)^2-2D(n-1)+1 alors la "valeur attendue" de Dn^2 se calcule par:

<Dn^2>=P(Dn^2=V1) * <V1> + P(Dn^2=V2) * <V2>

En poursuivant ce calcul tu arrive bien au résultat:

<Dn^2>=<Dn-1^2>+1

La suite Un=<Dn^2> est donc définie par:

1) U1=1 (puisque <D1^2>=1)
2) Un=U(n-1) + 1 pour n>=1 (puisque <Dn^2>=<Dn-1^2>+1)

Tu retrouves ici la définition d'une suite arithmétique et tu peux en déduire que Un=n pour tout n>=1 (tu peux montrer ce résultat par récurence pour bien saisir la "mécanique").

[Seirios]

Y a-t-il une démonstration de ?

[fritzlm]

Tu peux le montrer par récurence.