Calcul différentiel

[invite297acc47]

Bonjour,
Je suis en deuxième année de licence, et j'ai un petit souci sur un exo de maths (qui ne sont pas trop mon fort !! lol)

Voilà, je dois étudier la continuité ainsi que l'existence et la continuité des dérivées partielles de :

f(x.y)= y²sin(x/y) si différent de 0, f(x.0)=0.

J'ai vu que pour y différent de 0, la fonction f est continue par opérations.
J'étudie donc la continuité en (0.0):
|f(x.y)-f(0.0)|<= y²sin(x/y)
Je dois regarder si lim y²sin(x/y) -> 0
x->0
y->0

Je n'y arrive pas, je commence avec :
sin(x/y)>= 1 si x->0
sin(x/y)>= 0 si y->0
et après j'arrive pas à voir pour la continuité.

Sinon pr les dérivées partielles, j'ai trouvé:
df/dx= ycos(x/y)
df/dy= 2ysin(x/y) - xcos(x/y)

Et je n'arrive pas à étudier la continuité des dérivées partielles.
Donc si vous pouviez m'aider, je vous en remercie beaucoup d'avance

Zigg
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[invite455504f8]

Bonjour,
Je dois regarder si lim y²sin(x/y) -> 0
x->0
y->0

Je n'y arrive pas, je commence avec :
sin(x/y)>= 1 si x->0
sin(x/y)>= 0 si y->0
et après j'arrive pas à voir pour la continuité.

Zigg

les deux relations que tu as écrites sont fausses...
sin(0)=0 donc sin(x/y)->0 si x->0
pour y->0 tu as une forme indéterminée
mais |sin(x/y)|<=1 donc |y^2 sin(x/y)|<=y^2
tu peux finir....

[invite297acc47]

donc j'ai sin(x/y) ->0 si x->0
y²sin(x/y)<= y² <=> 0<= y² pour x ->0
y²sin(x/y)<= y² <=> 0<= pour y -> 0
Donc la fonction est continue en tous les points.
Mais, pour y->0, je n'y arrive pas trop, je suis pas très sûre de moi car pour montrer qu'une fonction est continue il faut la même limite (ici 0) mais pour y, je pense pas que c'est ça.

[invite455504f8]

donc j'ai sin(x/y) ->0 si x->0
y²sin(x/y)<= y² <=> 0<= y² pour x ->0
y²sin(x/y)<= y² <=> 0<= pour y -> 0
Donc la fonction est continue en tous les points.
Mais, pour y->0, je n'y arrive pas trop, je suis pas très sûre de moi car pour montrer qu'une fonction est continue il faut la même limite (ici 0) mais pour y, je pense pas que c'est ça.

il ne faut pas oublier les barres de valeur absolue, ce que tu as comme inégalité c'est:
0<=|y^2 sin(x/y)|<=y^2
si tu fais tendre y^2 vers 0 tu obtiens (on appelle ça le théorème du pincement ou des gendarmes ou du passages des douanes ):
0<=lim|y^2 sin(x/y)|<=0 (la lim est quand y->0)
donc la limite est nulle!
ce qui te gêne c'est, je suppose, le terme indéterminé dans le sin: x/y: ce qui se passe c'est que le sinus oscille de plus en plus quand y->0 (essaie avec une calculatrice graphique de représenter la fonction)
mais les oscillations sont bornées! donc si on multiplie par qqchose qui tend vers 0, l'amplitude des oscillations tend vers 0 et donc la fonction aussi...

[A voir en vidéo sur Futura]